12.2　参数方程.docx

12.2　参数方程[知识梳理]1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程提醒：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．[诊断自测]1．概念思辨(1)直线(t为参数)的倾斜角α为30°.(　　)(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．教材衍化(1)(选修A4－4P39T1)直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长等于(　　)A. B. C. D.答案　B解析　直线的普通方程为x－2y＋3＝0.圆的圆心为(0,0)，半径r＝3.∴圆心到直线的距离d＝＝.∴弦长为2＝.故选B.(2)(选修A4－4P24例2)已知点(x，y)满足曲线方程(θ为参数)，则的最小值是(　　)A. B. C. D．1答案　D解析　曲线方程(θ为参数)化为普通方程得(x－4)2＋(y－6)2＝2，∴曲线是以C(4,6)为圆心，以为半径的圆，∴是原点和圆上的点的连线的斜率，如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA时，取最小值，设过原点的切线方程为y＝kx，则圆心C(4,6)到切线y＝kx的距离：d＝＝，即7k2－24k＋17＝0，解得k＝1或k＝，∴的最小值是1.故选D.3．小题热身(1)(2014·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　)A. B．2 C. D．2答案　D解析　由消去t，得x－y－4＝0，由ρ＝4cosθ?ρ2＝4ρcosθ，∴C：x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，∴C(2,0)，r＝2.∴点C到直线l的距离d＝＝，∴所求弦长＝2＝2.故选D.(2)(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.答案　2解析　直线l的直角坐标方程为y－3x＝0，曲线C的普通方程为y2－x2＝4.由得x2＝，即x＝±，则|AB|＝|xA－xB|＝×＝2.题型1　参数方程与普通方程的互化　　(2014·全国卷Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． (1)用公式法，代入消参法；(2)过P作PH⊥l，垂足为H，当|PH|最大时，|PA|取最大值．解　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|，则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.方法技巧将参数方程化为普通方程的方法1．将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，一定要保持同解变形．冲关针对训练已知直线l的方程为y＝x＋4，圆C的参数方程为(θ为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求直线l与圆C的交点的极坐标；(2)若P为圆C上的动点，求点P到直线l的距离d的最大值．解　(1)由题知直线l：y＝x＋4，圆C：x2＋(y－2)2＝4，联立解得或其对应的极坐标分别为，.(2)解法一：设P(2cosθ，2＋2sinθ)，则d＝＝，当cos＝1时，d取得最大值2＋.解法