12．4　证明不等式的基本方法.docx

12．4　证明不等式的基本方法[知识梳理]1．证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．2．三个正数的算术-几何平均不等式(1)定理：如果a，b，c∈R＋那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即≥ ，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．3．柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则≥2，当且仅当＝＝…＝(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立．[诊断自测]1．概念思辨(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，假设为“a，b，c全不为0”．(　)(2)若1，则x＋2yx－y.(　)(3)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.(　)(4)若实数x，y适合不等式xy1，x＋y－2，则x0，y0.(　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．教材衍化(1)(选修A4－5P23T1)不等式：①x2＋33x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③＋≥2，其中恒成立的是(　)A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②答案　D解析　由①得x2＋3－3x＝2＋0，所以x2＋33x；对于②，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab0时，＋－2＝0，即＋2.故选D.(2)(选修A4－5P25T2)已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．答案　9解析　把a＋b＋c＝1代入＋＋，得＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．3．小题热身(1)(2017·聊城模拟)下列四个不等式：①logx10＋lg x≥2(x1)；②|a－b||a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的个数是(　)A．1 B．2 C．3 D．4答案　C解析　logx10＋lg x＝＋lg x≥2(x1)，①正确．ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；因为ab≠0，与同号，所以＝＋≥2，③正确；由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④正确，综上①③④正确．故选C.(2)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．答案　解析　由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，∴ ≥，∴所求最小值为.题型1　综合法证明不等式　(2018·安徽百校模拟)已知a0，b0，函数f(x)＝|2x＋a|＋2＋1的最小值为2.(1)求a＋b的值；(2)求证：a＋log3≥3－b. (1)当绝对值符号中x的系数相同时，利用绝对值不等式的性质消去x即可；(2)利用a＋b＝1转化为＋＝(a＋b)求解．解　(1)因为f(x)＝|2x＋a|＋|2x－b|＋1≥|2x＋a－(2x－b)|＋1＝|a＋b|＋1，当且仅当(2x＋a)(2x－b)≤0时，等号成立，又a0，b0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋1＝2，所以a＋b＝1.(2)证明：由(1)知，a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝，b＝时取等号．所以log3≥log39＝2，所以a＋b＋log3≥1＋2＝3，即a＋log3≥3－b.方法技巧1．综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．冲关针对训练(2018·浙江金华模拟)已知x，y∈R.(1)若x，y满足|x－3y|，|x＋2y|，求证：|x|；(2)求证：x4＋16y4≥2x3y＋8xy3.证明　(1)利用绝对值不等式的性质得|x|＝[|2(x－3y)＋3(x＋2y)|]≤[|2(x－3y)|＋|3(x＋2y)|]＝.(2)因为x4＋16y4－(2x3y＋8xy3)＝x4－2x3y＋16y4－8xy3＝x3(x－2y)＋8y3(2y－x)＝(x－2y)(x3－8y3)＝(x－2y)(x－2y)(x2＋2xy＋4y2)＝(x－2y)2[(x＋y)2＋3y2]≥0，∴x4＋16y4≥2x3y＋8xy3.题型2　分析法证明不等式　设a，b，c0，且ab＋bc＋c