2.10　导数的概念及运算.docx

2.10　导数的概念及运算 [知识梳理] 1．变化率与导数 (1)平均变化率 (2)导数 2．导数的运算 [诊断自测] 1．概念思辨 (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　　) (2)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (4)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．教材衍化 (1)(选修A1－1P74思考)若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则eq \f(Δy,Δx)等于(　　) A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 答案　C 解析　Δy＝(1＋Δy)－1＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx， ∴eq \f(Δy,Δx)＝2Δx＋4.故选C. (2)(选修A1－1P85T7)f(x)＝cosx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))处的切线的倾斜角为 ________． 答案　eq \f(3π,4) 解析　f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－1， tanα＝－1，所以α＝eq \f(3π,4). 3．小题热身 (1)(2017·湖北百所重点高中联考)已知函数f(x＋1)＝eq \f(2x＋1,x＋1)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案　A 解析　f(x＋1)＝eq \f(2?x＋1?－1,x＋1)，故f(x)＝eq \f(2x－1,x)，即f(x)＝2－eq \f(1,x)，对f(x)求导得f′(x)＝eq \f(1,x2)，则f′(1)＝1，故所求切线的斜率为1.故选A. (2)(2017·太原模拟)函数f(x)＝xex的图象在点(1，f(1))处的切线方程是________． 答案　y＝2ex－e 解析　∵f(x)＝xex，∴f(1)＝e，f′(x)＝ex＋xex， ∴f′(1)＝2e，∴f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e. 题型1　导数的定义及应用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 eq \o(\s\up7(　),\s\do5(典例1))　　已知函数f(x)＝eq \r(3,x)＋1，则 eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f?1－Δx?－f?1?,Δx)的值为(　　) A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D．0 用定义法． 答案　A 解析　由导数定义，eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f?1－Δx?－f?1?,Δx) ＝－eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f?1－Δx?－f?1?,－Δx)＝－f′(1)，而f′(1)＝eq \f(1,3). 故选A. eq \o(\s\up7(　),\s\do5(典例2))　已知f′(2)＝2，f(2)＝3，则eq \o(lim,\s\do14(x→2)) eq \f(f?x?－3,x－2)＋1的值为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 用定义法． 答案　C 解析　令x－2＝Δx，x＝2＋Δx，则原式变为 eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f?2＋Δx?－f?2?,Δx)＋1＝f′(2)＋1＝3.故选C. 方法技巧 由定义求导数的方法及解题思路 1．导数定义中，x在x0处的增量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，解题时要将分子、分母中的增量统一． 2．导数定义eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)＝f′(x0)等价于eq \o(lim,\s\do14(x→x0)) eq \f(f?x?－f?x0?,x－x0)＝f′(x0)． 3．求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的求解步骤： 冲关针对训练 用导数的定义求函数y＝eq \f(1,\r(x))在x＝1处的导数． 解　记f(x)＝eq \f(1,\r(x))， 则Δy＝f(1＋Δx)－f