2018年中学数学复习证明题专项练习.doc

数学 1. 如图，在平面直角坐标系中已知矩形OABC的顶点A(80)，C(04)，点P是OA边上的动点(点P与点O、A不重合)，将△PAB沿PB翻折得到△PDB，PD与BC交于点M. (1)判断△BMP的形状，并证明； (2)在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折得到△PFE，使PF与PD重合．设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值； (3)在(2)的条件下，当点F恰好落在边CB上时，请直接写出点P的坐标． 1. 解：(1)△BMP为等腰三角形． 证明如下： ∵将△PAB沿PB翻折得到△PDB， ∴∠MPB＝∠APB， ∵BC∥OA， ∴∠MBP＝∠BPA， ∴∠MPB＝∠MBP， ∴MP＝MB， ∴△BMP为等腰三角形； (2)由已知PB平分∠APDPE平分∠OPFPD与PF重合， ∴PB⊥PE，则∠BPE＝90°， ∴∠OPE＋∠APB＝90°， 又∵∠APB＋∠ABP＝90°， ∴∠OPE＝∠ABP， ∴Rt△POE∽Rt△BAP， ∴＝，即＝， ∴y关于x的函数关系式为y＝x(8－x)＝－x2＋2x＝ －(x－4)2＋4(0x8)， ∴当x＝4时，y有最大值为4； (3)点P的坐标为(4，0)或(，0)． 【解法提示】如解图，过P作PN⊥CB于N， ∴∠ECF＝∠FNP＝90°， ∴∠CEF＋∠EFC＝90°， ∵∠EFC＋∠PFN＝90°， ∴∠CEF＝∠NFP， ∴△CEF∽△NFP， ∴＝， ∵CF＝＝＝2， ∴＝，由(2)＝， 即2y－4＝， 将y＝－x2＋2x代入得： 8(－x2＋2x)－16＝x2－16x＋64， 整理得3x2－32x＋80＝0， 解得x1＝4，x2＝， ∴点P的坐标为(4，0)或(，0)． 2. 如图，在△ ABC中，AB＝AC，过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G，一等腰直角三角尺的一条直角边与AC在同一直线上，该三角尺的直角顶点为F. (1)如图①，当另一条直角边恰好经过点B时，求证BF＝CG； (2)将三角尺沿AC方向平移到图②位置时，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA于点E，试探究线段DE、DF与CG之间满足的等量关系，并说明理由； (3)如图③，将三角尺继续沿AC方向平移(点F不与点C重合)时，若AG∶AB＝5∶13，BC＝4，请直接写出DE＋DF的值． 2. (1)证明：如解图①， ∵BF⊥AC，CG⊥AB， ∴S△ABC＝AC·BF＝AB·CG， ∵AB＝AC， ∴BF＝CG； (2)解：DE＋DF＝CG； 理由：如解图②，连接AD， ∵DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB， ∴S△ACD＝AC·DF，S△ABD＝AB·DE， S△ABC＝AB·CG， ∵S△ACD＋S△ABD＝S△ABC， ∴AC·DF＋AB·DE＝AB·CG， ∵AB＝AC， ∴DE＋DF＝CG； (3)DE＋DF的值为8. 【解法提示】如解图③，连接AD， 同(2)可得：DE＋DF＝CG， 设AG＝5x， ∵AG∶AB＝5∶13，AB＝AC， ∴AC＝AB＝13x， ∵∠G＝90°， ∴GC＝＝12x， 在Rt△BGC中， ∵BG＝AB＋AG＝13x＋5x＝18x，GC＝12x，BC＝4， ∴(18x)2＋(12x)2＝(4)2， 解得x＝(负值舍去)， ∴DE＋DF＝CG＝12x＝8. 3. 如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点P是直线AD上的动点(不与点A、D重合)，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PM，连接CM. (1)如图①，当点P在线段AD上时，直接写出线段AP与CM的数量关系； (2)如图②，当点P在AD的延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； (3)如图③，当点P在AD的延长线上，∠AMC＝45°时，若AB＝2，请直接写出线段AP 的长． 3. 解：(1)AP＝CM； 【解法提示】如解图①，连接BM，由旋转的性质可得BP＝MP，∠BPM＝60°， ∴△BPM是等边三角形， ∴BP＝BM， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC， ∵∠ABP＋∠CBP＝∠CBP＋∠CBM， ∴∠ABP＝∠CBM， ∴△ABP≌△CBM(SAS)， ∴AP＝CM； (2)(1)中结论仍成立． 证明：如解图②，连接BM， 由旋转性质得BP＝MP，∠BPM＝60°， ∴△BPM是等边三角形， ∴BP＝BM， ∵∠ABC＝∠MBP＝60°， ∴∠ABP＝∠CBM， ∵AB＝CB， ∴△ABP≌△CBM， ∴AP＝CM； (3)AP＝2. 【解法提示】 如解图③，连接BM. 由(2)得△ABP≌△CBM， ∵AD为BC边上的中线， ∴∠BCM＝∠BAP＝30°， ∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝9