2018年中考数学专题：等腰直角三角形内接正方形的问题.doc

等腰直角三角形内接正方形的问题 本文约定:若正方形的两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则称该正方形为三角形在该边上的内接正方形. 显然，等腰中，，，，则. 关于等腰直角三角形内接正方形一般有两种情形: (l)当正方形为等腰斜边上的内接正方形时，如图1. 设正方形的面积为，， 则， ， ∴. 此时m， 正方形的边长为，. (2)当正方形为直角边(或)上的内接正方形时，如图2. 设正方形的面积为，， 则， ∴. 此时，即正方形的边长为，. 且， ∴. 此类问题经常出现在各地中考试卷中，下面举例分析. 例1 (湘西州中考题)等腰腰长为，现分别按图3、图4方式在内内接一个正方形和正方形.设的面积为，正方形的面积为， 正方形的面积为.[来源:学科网] (1)在图3中，求的值;在图4中，求的值. (2)比较与的大小. 略解 (1) ; . (2) . 例2 (泰安市、菏泽市中考题) 如图5，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为， 则的值为( ) (A)16 (B)17 (C)18 (D)19 略解 , 故选B. 例3 (辽阳市中考题) 如图6，，，. 在中截出一个正方形，使点、，分别在、边上，边在边上;在中再截出第二个正方形，使点、分别在，边上，边在边上;… 依此方法作下去，则第个正方形的边长为 [来源:学#科#网Z#X#X#K] 略解 第1个正方形的边长为，此时的等腰直角三角形的腰长为;[来源:学,科,网Z,X,X,K] 第2个正方形的边长为，此时的等腰直角三角形的腰长为；第3个正方形的边长，此时的等腰直角三角形的腰长； 所以，第个正方形的边长为. 例4 (烟台市中考题) 如图7，在内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是( ) (A) (B) (C) (D) 略解 在图8中，由，得 ， 即， 所以，故选A. 评注 本题是任意中内接正方形的问题.结论是出人意料的:大的正方形的边长等于两个小的正方形的边长的和. 求解时，猛一看似无从下手，其实也是相当的简单:只用一次三角形相似即可. 进一步，如果将等腰直角三角形内接正方形问题变为等腰直角三角形内接矩形，结论会有什么变化? 我们仍有结论: 等腰中，，，，则. 与上述类似，也有如下两种情况: (1)当矩形为等腰斜边上的内接矩形时，如图9. 设. 所以有，[来源:Zxxk.Com] 即. 当时，边长为，正说明内接正方形是内接矩形的特殊情况. (2)当矩形为等腰直角边(或)上的内接矩形时，如图10.[来源:学。科。网Z。X。X。K] 设， 易得. 同理，当时，边长为. 例5 (温州市中考题)如图11，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于两点，是线段上任意一点(不包括端点).过分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是( ) (A) (B) (C) (D) 略解 显然选C. 评注 本题是任意直角边(或)上的内接矩形的问题.