2018年高考数学自由复习步步高系列（江苏版）第八天 热身练笔08（解析版）.doc

【综合模拟练兵——保持手感】 1.【2018江苏省南京市】如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCDAB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1． （）若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长； （）求二面角BPD－A的余弦值． 【答案】（1）2（2） 【解析】 试题分析：（1）以为单位正交基底，建立空间直角坐标系．设，则，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可；（2）分别求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 试题解析：解：（1）以{ }为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．因为AP＝AB＝AD＝1，所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．设C(1，y，0)，则＝(1，0，－1)， ＝(－1，1－y，0)． …………………2分 因为直线PB与CD所成角大小为， 所以|cos＜， ＞|＝| |＝ ， 即，解得y＝2或y＝0（舍）， 所以C(12，0)，所以BC的长为2．学#科网 2.直三棱柱中，，分别是的中点，，为棱上的点． （1）证明：； （2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：因为，所以，又因为，所以面，又因为面，所以， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有,设且，即，则，所以，因为，所以，所以 ; 学%科网 考点：1、线线垂直，线面垂直；2、二面角. 3. 已知四棱锥中，平面，，，. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析;(2). 【解析】分析1）过点在平面内作，交于点连接可得可证明，，所以，所以由线面垂直的性质可得根据线面垂直的判定定理可得结论；2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，平面的一个法向量利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 所以，所以，所以， 又平面，所以， 因为，所以平面． 点睛本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 学*科网 考点：1.线面垂直的判定；2.线面角. 4. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O,△PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD=,AP=4AF. （1）求证：PO底面ABCD； （2）求直线CP与平面BDF所成角的大小； （3）线段PB上是否存在点M，使得CM平面BDF？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由. 【解析】（1） 证明：因为底面ABCD是菱形，所以O为AC，BD中点．又因为，所以，所以． （3）解：设则,若使CM平面BDF，需且仅需且,解得,所以在线段PB上存在一点M，使得CM平面BDF．此时 考点：（1）直线与平面垂直的判定；（2）直线与平面平行的判定；（3）用空间向量求直线与平面所成的角. 5.【2018江苏省南通、徐州、扬州等六市二模】在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的33表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元． （1）求概率； （2）求的概率分布及数学期望． 【答案】(1) ；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）从33表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形，再将事件分类，根据古典概型概率公式求得概率；（2）先确定的所有可能值为300，400，500，600，700，再分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望. 学科#网 （2）的所有可能值为300，400，500，600，700． 则， ， ， ． 的概率分布列为： X 300 400 500 600 700 P （元）． 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值. 6.自2016