2018重庆中考双最值问题（必威体育精装版）练习：（无答案）.doc

模型回顾 类型一：A,B是笔直的公路同侧的两个村庄，现要在公路上修建一个公共车站P，若AP+BP的和最小，则公共车站P应建在什么地方？（A,B固定点） 图1 图2 图3 辅助线描述：做点A关于直线l的对称点，连接点B与直线l相交于点P,AP转化为A’P,此时AP+BP最小，点P即为所求（应用原理：两点之间线段最短） 变式：A,B是笔直的公路同侧的两个村庄，现要在公路上修建一个公共车站P、Q，且两个公交车站相距200米，若AP+PQ+BQ的和最小，则公共汽车站P应建在什么地方？（A,B固定点） （1）A,B在异侧 图4 图5 辅助线描述：将点A向右移动PQ长度至点A‘，连接A’B与直线l相交于点Q，将点Q在直线l上向左移动PQ长度距离至点P,此时AP+PQ+BQ的和最小，点P(Q)即为所求（应用原理：两点之间线段最短） (2)A,B在同侧 辅助线描述：将点A向右移动PQ长度至点A‘，作点A’关于直线l的对称点A’’,连接A’’B与直线l相交于点Q，将点Q在直线l上向左移动PQ长度距离至点P,此时AP+PQ+BQ的和最小，点P(Q)即为所求（应用原理：两点之间线段最短） 图6 图7 类型二：A,B是直线同侧的两个定点，试在直线上确定一点P，使的值最大. （A,B固定点） A,B在同侧时 图8 图9 辅助线描述：延长BA与直线l相交于点P，此时最小，点P即为所求（应用原理：三角形的构成原理） A,B在异侧时 图10 图11 图12 辅助线描述：作点A关于直线l的对称点A’,延长BA‘与直线l相交于点P，此时最小，点P即为所求（应用原理：三角形的构成原理） 类型三：已知内有两定点P、Q，试在OA、OB上各找一点M、N,使四边形的周长最小(P,Q固定点，∠AOB固定) 辅助线描述：分别作点P,Q关于射线OA和OB对称点P’，Q’连接P’,Q’分别与射线OA和OB相交于M,N,PM、QN分别转化为P’M、Q’N,此时PQ+QN+NM+MP最小，即四边形的周长最小，点M,N即为所求（应用原理：两点之间线段最短） 图13 图14 变式：已知两边上有P、Q，试在OA、OB上各找一点M、N,使PM+MN+QN长度之和最小(P,Q固定点，∠AOB固定) 图15 图16 辅助线描述：分别作点P,Q关于射线OA和OB对称点P’，Q’连接P’,Q’分别与射线OA和OB相交于M,N,此时PM+MN+NQ最小，点M,N即为所求（应用原理：两点之间线段最短） 类型四：点A、B在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥修在何处才能使从A到B的路径最短？（假设河的两岸是平行的，河的宽度是已知的，桥要与河岸垂直）(A,B固定点) 辅助线描述：将点A向下移动MN长度至点A’,连接点B与直线n相交点N,过点M作直线n的垂直线相交直线m于点M,连接AM,此时AM+MN+NB最小，点M(N)即为所求（应用原理：两点之间线段最短） 图17 图18 变式：已知平行线a，b，点A,B分别在如图位置，在直线a，b上分别找点M,N且满足MN⊥a，若AM+MN+NB最小，求点N的位置(A,B固定点) 辅助线描述：将点A向下移动MN长度至点A’,作点B关于直线b的对称点B’，连接A’B’与直线b相交于点N,过点N作直线b的垂直线交直线a于点M,连接AM,此时AM+MN+NB最小，点N(M)即为所求（应用原理：两点之间线段最短） 图19 图20 类型五：已知∠AOB，OB上有一点M,在射线OA,OB上分别找点P,Q使得MP+PQ最小，求点P的位置（点M固定点，∠AOB固定） 图21 图22 辅助线描述：做点M关于射线OA的对称点M’,过点M’作射线OB的垂线，分别与射线OA，OB相较于点P,Q，此时MP+PQ最小，点P(Q)即为所求（应用原理：直线外一点，点到直线垂线段最短） 类型六：直线l上有一点A，点B为直线外一点，在直线上找点P使得最小（A,B固定点 图23 图24