3．1　任意角和弧度制及任意角的三角函数(同名4671).docx

3．1　任意角和弧度制及任意角的三角函数[知识梳理]1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(4)相关结论①象限角②轴线角2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式3．任意角的三角函数[诊断自测]1．概念思辨(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　)(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．(　)(3)α∈，则tanααsinα.(　)(4)α为第一象限角，则sinα＋cosα1.(　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．教材衍化(1)(必修A4P9T5)直径为4的圆中，36°的圆心角所对的弧长是(　)A. B. C. D.答案　B解析　∵36°＝36× rad＝ rad，∴36°的圆心角所对的弧长为l＝×2＝.故选B.(2)(必修A4P21T9)设θ是第三象限角，且＝－cos，则是(　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案　B解析　由θ在第三象限，所以2kπ＋πθ2kπ＋(k∈Z)，所以kπ＋kπ＋(k∈Z)．又cos≤0，故选B.3．小题热身(1)(2017·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cosα＜0，则tanα＝________.答案　－1解析　如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tanα＝＝＝－1.(2)(2018·黄浦模拟)如图，已知扇形OAB和OA1B1，A1为OA的中点，若扇形OA1B1的面积为1，则扇形OAB的面积为________．答案　4解析　设∠AOB＝α，则S扇形OA1B1＝OA·α＝1，S扇形OAB＝OA2·α，OA＝2OA1，∴S扇形OAB＝·(2OA1)2·α＝4.题型1　象限角及终边相同的角　设集合M＝，N＝，判断两集合的关系(　)A．M＝N B．MNC．NM D．M∩N＝?赋值法．答案　B　已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α终边相同，则y＝＋＋的值为________．找α的终边，利用终边确定正负，再求值．答案　－1解析　由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ0，cosθ0，tanθ0.因此，y＝－1＋1－1＝－1.方法技巧象限角的两种判断方法1．图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．2．转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．见典例2.提醒：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．冲关针对训练1．(2017·潍坊模拟)集合kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　)答案　C解析　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．故选C.2．若sin＝，且sinθ0，则θ的终边所在象限是(　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案　C解析　∵sinθ0，∴2sincos0.又∵sin＝，∴cos0.故是第二象限角，且2kπ＋2kπ＋π(k∈Z)．∴4kπ＋πθ4kπ＋π，∴θ的终边在第三象限．故选C.题型2　弧度制及扇形面积公式的应用　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？利用方程组法、二次函数求最值．解　(1)α＝60°＝ rad，∴l＝α ·R＝×10＝ (cm)．(2)由题意得解得(舍去)，故扇形圆心角为.(3)由已知，得l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2.[条件探究]　将典例中的第(3)问推广为“若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？”解　扇形周长C＝2R