3．3　三角函数的图象与性质(同名4673).docx

3．3　三角函数的图象与性质[知识梳理]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[诊断自测]1．概念思辨(1)y＝tanx在整个定义域上是增函数．(　　)(2)函数f(x)＝sin(－2x)与f(x)＝sin2x的单调增区间都是(k∈Z)．(　　)(3)由sin＝sin知，是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．(　　)(4)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(必修A4P46T2)函数f(x)＝(1＋tanx)cosx的最小正周期、最大值为(　　)A．2π，2 B.， C．π，2 D.，答案　A解析　f(x)＝(1＋tanx)cosx＝·cosx＝2cos，则T＝2π.最大值为2.故选A.(2)(必修A4P40T4)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论错误的是(　　)A．函数f(x)是偶函数B．函数f(x)的最小正周期为πC．函数f(x)在区间上是增函数D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称答案　D解析　f(x)＝sin＝－cos2x，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A、B正确．由函数y＝cosx的单调性知C正确．函数图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)，显然，无论k取任何整数，x≠，所以D错误．故选D.3．小题热身(1)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)A．－1 B．－ C. D．0答案　B解析　由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.故选B.(2)函数y＝tan的单调递增区间是________，最小正周期是________．答案　(k∈Z)　2π解析　由kπ－＋kπ＋，k∈Z，得2kπ－x2kπ＋，k∈Z.周期T＝＝2π.题型1　三角函数的定义域和值域　　函数f(x)＝＋log2(2sinx－1)的定义域是________．本题采用数形结合．答案　∪∪解析　由题意，得由①得－8≤x≤8，由②得sinx，由正弦曲线得＋2kπx＋2kπ(k∈Z)．所以不等式组的解集为∪∪.　　是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx＋a－在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由．用转化法将问题化为二次函数型，然后分类讨论．解　y＝1－cos2x＋acosx＋a－＝－2＋＋a－.当0≤x≤时，0≤cosx≤1.若1，即a2，则当cosx＝1时，ymax＝a＋a－＝1?a＝2(舍去)，若0≤≤1，即0≤a≤2，则当cosx＝时，ymax＝＋a－＝1?a＝或a＝－40(舍去)．若0，即a0，则当cosx＝0时，ymax＝a－＝1?a＝0(舍去)综合上述知，存在a＝符合题设．方法技巧1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．见典例1.2．三角函数值域的不同求法(1)形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．冲关针对训练1．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．答案　解析　由x∈，知x＋∈.∵x＋∈时，f(x)的值域为，∴由函数的图象知≤a＋≤，所以≤a≤π.2．已知3sin2α＋2sin2β＝2sinα，求y＝sin2α＋sin2β的取值范围．解　∵3sin2α＋2sin2β＝2sinα，∴sin2β＝－sin2α＋sinα，∵0≤sin2β≤1，∴解得0≤sinα≤，∵y＝sin2α＋sin2β＝－sin2α＋sinα＝－(sinα－1)2＋，0≤sinα≤，∴sinα＝0时，ymin＝0；sinα＝时，ymax＝，∴0≤sin2α＋sin2β≤.题型2　三角函数的单调性　　(2017·长沙一模)函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是(　　)A.B.C.D.和本题用子集法．答案　D解析　依题意得y＝－sin，当2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，函数y＝－sin是单调递增