3．6　正弦定理和余弦定理.docx

3．6　正弦定理和余弦定理[知识梳理]1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况3．三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)．(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．4．在△ABC中，常有的结论(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[诊断自测]1．概念思辨(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(　　)(2)在△ABC中，＝.(　　)(3)若a，b，c是△ABC的三边，当b2＋c2－a20时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a20时，△ABC为钝角三角形．(　　)(4)在△ABC中，若sinAsinBcosAcosB，则此三角形是钝角三角形．(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．教材衍化(1)(必修A5P10A组T4)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.答案　1解析　由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，又由余弦定理知cosA＝＝＝，所以＝＝2××＝1.(2)(必修A5P20A组T11)若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．答案　7解析　因为△ABC的面积S△ABC＝AB·ACsinA，所以10＝×5×8sinA，解得sinA＝，因为角A为锐角，所以cosA＝.根据余弦定理，得BC2＝52＋82－2×5×8cosA＝52＋82－2×5×8×＝49，所以BC＝7.3．小题热身(1)(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)A．1 B．2 C．3 D．4答案　A解析　在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由c2＝a2＋b2－2abcosC，得13＝9＋b2－2×3b×，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1.故选A.(2)(2016·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.答案　解析　由已知可得sinA＝，sinC＝，则sinB＝sin(A＋C)＝×＋×＝，再由正弦定理可得＝?b＝＝.题型1　利用正、余弦定理解三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2018·郑州预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB＝(　　)A．－ B. C．－ D.边角互化法．答案　B解析　由正弦定理知＝＝1，即tanB＝，由B∈(0，π)，所以B＝，所以cosB＝cos＝.故选B.　(2018·重庆期末)在△ABC中，已知AB＝4，AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的面积是(　　)A．4 B．8C．4或8 D.注意本题的多解性．答案　C解析　在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝42＝(4)2＋BC2－2×4BCcos30°，解得BC＝4或BC＝8.当BC＝4时，AC＝BC，∠B＝∠A＝30°，△ABC为等腰三角形，∠C＝120°，△ABC的面积为AB·BCsinB＝×4×4×＝4.当BC＝8时，△ABC的面积为AB·BCsinB＝×4×8×＝8.故选C.方法技巧正、余弦定理在解三角形中的应用技巧1．已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC能够实现边角互化．见典例1.2．已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形．见典例2.3．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．见典例2.冲关针对训练1．(2017·河西五市联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b－a)sinA＝(b－c)·(sinB＋sinC)，则角C等于(　　)A. B. C. D.答案　A解析　由题意，得(b－a)a＝(b－c)(b＋c)，∴ab＝a2＋b2－c2，∴cosC＝＝，∴C＝.故选A.2．(2018·山东师大附中模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A＝－，c＝，sinA＝sinC.(1)求a的值；(2)若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．解　(1)在△ABC中，c＝，sinA＝sinC