5．2　等差数列及其前n项和.docx

5．2　等差数列及其前n项和 [知识梳理]1．等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，可推广为an＝am＋(n－m)d.(2)等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d.3．等差数列的相关性质已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝….(2)等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.(5)也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的.4．等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d0时，数列为递增数列；当d0时，数列为递减数列．(2)等差数列前n项和公式可变形为Sn＝n2＋n.当d≠0时，它是关于n的二次函数，数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．5．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值．[诊断自测]1．概念思辨(1)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(必修A5P38例1(1))已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．答案　487解析　由条件易知该等差数列的首项为a1＝－8，公差d＝5，得an＝－8＋(n－1)×5＝5n－13，故a100＝487.(2)(必修A5P68A组T8)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.答案　180解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.3．小题热身(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)A．100 B．99 C．98 D．97答案　C解析　设{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式及通项公式，得解得an＝a1＋(n－1)d＝n－2，∴a100＝100－2＝98.故选C.(2)(2017·福建宁德一模)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a2＝3a4－6，则S9等于(　　)A．54 B．50 C．27 D．25答案　C解析　数列{an}为等差数列，设公差为d，则a4＝a2＋2d，∴a2＝3(a2＋2d)－6，∴2a2＋6d－6＝0.∴a2＋3d＝3，即a5＝3，那么S9＝＝9×a5＝27.故选C.题型1　等差数列基本量的运算　　(2017·广东惠州调研)设{an}是首项为－，公差为d(d≠0)的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则d＝(　　)A．－1 B．－ C. D.方程思想方法．答案　A解析　Sn＝na1＋d，因为S1，S2，S4成等比数列，所以S1·S4＝S，即a1(4a1＋6d)＝(2a1＋d)2，因为a1＝－，所以－(－2＋6d)＝(－1＋d)2，即d2＋d＝0，解得d＝0或d＝－1.又因为d≠0，所以d＝－1.故选A.　　(2017·碑林区期末)设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项a1＝________.设前三项为a－d，a，a＋d，列方程组．答案　2解析　设等差数列的前三项分别为a2－d，a2，a2＋d.由题可知3a2＝12，①(a2－d)a2(a2＋d)＝48，②将①代入②得(