6.2　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.docx

6.2　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[知识梳理]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3．重要结论(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C0或Ax＋By＋C0，则有①当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．(3)最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个．4．利用线性规划求最值，用图解法求解的步骤(1)作可行域；(2)将目标函数进行变形；(3)确定最优解；(4)求最值．[诊断自测]1．概念思辨(1)不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)(2)不等式x2－y2＜0表示的平面区域是一、三象限角平分线和二、四象限角平分线围成的含有y轴的两块区域．(　　)(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(　　)(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．教材衍化(1)(必修A5P86T3)不等式组表示的平面区域是(　　)答案　B解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.故选B.(2)(必修A5P93B组T1)若实数x，y满足则不等式组表示区域的面积为________，z＝的取值范围是________．答案　　(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析　如右图所示，不等式组表示区域面积为×1×3＝，z＝理解为区域上的点P(x，y)与点Q(1，－2)连线所在直线斜率的变化范围，kAQ＝＝1，kOQ＝＝－2，结合图形分析知z＝的取值范围为(－∞，－2]∪[1，＋∞)．3．小题热身(1)(2017·河北衡水中学五调)若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是(　　)A．a≥B．0＜a≤1C．1≤a≤D．0＜a≤1或a≥答案　D解析　作出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1、l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．故选D.(2)(2017·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋y的最大值为(　　)A.B．1 C.D．3答案　D解析　画出可行域，如图中阴影所示．又目标函数z＝x＋y，结合图象易知y＝－x＋z过(0,3)点时z取得最大值，即zmax＝0＋3＝3.故选D.题型1　二元一次不等式(组)表示的平面区域　　(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝(　　)A．2B．4 C．3D．6转化为求线段CD的长．答案　C解析　由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝＝3.故选C.[结论探究]　若典例条件不变，则平面区域的面积是________．答案　6解析　由得其交点坐标为(2,2)，交点到直线x＋y＝0的距离为d＝，故面积为××3＝6.方法技巧与平面区域有关的计算方法1．画出不等式组表示的平面区域，并计算端点的坐标．2．根据平面区域的形状特点，选择合适的公式计算线段的长度、图形的面积，不规则的图形可用分割法求其面积．见典例答案解法．3．注意转化思想方法的应用，如把面积最大、最小问题转化为两点间的距离、点到直线的距离等．冲关针对训练(2015·重庆高考)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)A．－3B．1 C.