6．1　不等关系与不等式的性质及一元二次不等式.docx

6．1　不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[知识梳理]1．两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0?a＞b.(2)a－b＝0?a＝b.(3)a－b＜0?a＜b.2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b?b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)．(8)开方法则：a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2)．3．必记结论(1)ab，ab0?.(2)a0b?.(3)ab0,0cd?.(4)0axb或axb0?.(5)若ab0，m0，则；(b－m0)；；(b－m0)．4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：y＝a2＋(a≠0)．(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．5．三个二次之间的关系[诊断自测]1．概念思辨(1)a＞b?ac2＞bc2.(　)(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.(　)(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.(　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．教材衍化(1)(必修A5P74T3)下列四个结论，正确的是(　)①a＞b，c＜d?a－c＞b－d；②a＞b＞0，c＜d＜0?ac＞bd；③a＞b＞0?＞；④a＞b＞0?＞.A．①② B．②③ C．①④ D．①③答案　D解析　利用不等式的性质易知①③正确．故选D.(2)(必修A5P80A组T3)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．答案　(－∞，－3－2)∪(－3＋2，＋∞)解析　由题意知Δ＝(m＋1)2＋4m＞0，即m2＋6m＋1＞0，解得m＞－3＋2或m＜－3－2.3.小题热身(1)(2014·四川高考)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　)A.＞ B.＜ C.＞ D.＜答案　D解析　解法一：??＞?＜.故选D.解法二：依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，代入验证得A，B，C均错，只有D正确．故选D.(2)已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为(　)A. B.C．{x|－2＜x＜1} D．{x|x＜－2或x＞1}答案　A解析　由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．由韦达定理?∴不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2＋x－1＜0.可知x＝－1，x＝是对应方程的根，故选A.题型1　不等式性质的应用　若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小关系是________．用作差法．答案　|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|解析　当a＞1时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0，∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)＞0.当0＜a＜1时，loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0，∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)＞0.∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.　已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．运用待定系数法．解　由题意知f(x)＝ax2＋bx，则f(－2)＝4a－2b，由f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，设存在实数x，y，使得4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，即4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以解得所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10，即f(－2)的取值范围是[6,10]．方法技巧不等式的概念与性质问题的常见题型及解题策略1．比较大小的常用方法：作差法与作商法．如典例1.2．不等式的性质及应用解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证(注意前提条件)；二是利用特殊值法排除错误答案．3．求代数式的取值范围(1)先建立待求式子与已知不等式的关系，再利用一次不等式的性质进行运算，求得待求式子的范围．如典例2.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变