AR模型贝叶斯分析及其应用.docVIP

AR模型的贝叶斯分析及其应用 　　摘要：在经济时间序列分析中，AR模型作为自回归移动平均序列模型的一个特殊情况，应用最为广泛。在结合贝叶斯参数估计方法的前提下，分析介绍时间序列AR模型的条件似然函数以及相关模型参数的共轭先验分布， 并在此基础上，重点研究了正态－伽马先验分布情况下该模型的贝叶斯推断理论，再通过选取江苏省的进出口的相关样本数据，运用WINBUGS软件进行AR模型的实证应用分析。 　　关键词：ＡＲ模型；贝叶斯推断；先验分布；ＭＣＭＣ 　　中图分类号：F224 文献标志码：Ａ文章编号：１６７３－２９１Ｘ（２０11）02－０015－02 　　 　　引言 　　在经济时间序列分析的模型体系中，AR模型的应用最为广泛，它是自回归移动平均序列模型的一个特殊情况。在现有的时间序列模型理论体系中，AR模型参数估计方法主要有LS估计和Yule-Walker估计。这些方法的一个共同缺点是没有考虑到模型参数本身的信息。最近几年来，随着贝叶斯统计理论的发展和不断完善，贝叶斯时间序列预测模型的研究也得到了长足的进展，并在实践中获得了广泛的应用。 　　本文主要研究正态－伽马共轭参数先验分布情况下， 模型的贝叶斯分析，包括模型参数后验分布的统计推断、贝叶斯估计，并结合具体数据进行了时间序列AR(P)模型的贝叶斯实证分析。 　　一、ＡＲ模型的贝叶斯推断 　　若模型中的随机变量设为 Yt，则它的AR（P）模型表示为： 　　 Yt＝θ1Yt-1+θ2Yt-2+θpYt-p+εt，t＝1，2，……，n 　　此处随机误差项ε1，ε2，……，εn相互独立，并且均服从正态分布N（0，τ-1），τ＞0为模型误差项εt的精度，即方差的逆，θ1，θ1，……，θp为模型的自回归系数，Ｐ为模型的阶；若给定序列初始值y0，y-1，……，y1-p则对于给定的（Yt/Yt-1＝yt-1，Yt-2＝yt-2，Yt-p＝yt-p）□N （），此时，随机变量Yt服从正态分布，即（Yt/Yt-1＝yt-1，Yt-2＝yt-2，Yt-p＝yt-p）□N （θ1yt-1+θ2yt-2+……θpyt-p，τ-1） 　　若将该条件分布的密度函数记为 　　 fYt/Yt-1，Yt-2……Yt-p＝（yt/yt-1，yt-2+……yt-p；θ，τ） 　　则模型的条件似然函数为： 　　 L（θ，τ）＝ fYt/Yt-1，Yt-2……Yt-p＝（yt/yt-1，yt-2+……yt-p；θ，τ） 　　＝（）exp-y+θAθ-2θC 　　其中： 　　 ＝（aij）p×p，aij＝yt-i，yt-j，＝（c1，c2，……cp）T 　　 cj＝yt-yt-j，θ＝（θ1，θ2，……θp）T 　　若去掉与模型参数（θ，τ）的无关项，则上述似然函数可以简化为： 　　L（θ，τ）∞τexp-y+θAθ-2θC 　　从上面公式不难看出，该模型似然函数的结构具有正态-伽马分布密度函数核的形式，因此选择正态－伽马分布作为模型参数的先验分布，即对于给定的τ，参数θ的先验分布为正态分布，而精度参数τ的先验分布为伽马分布，即 　　 π（θ，τ）＝π（θ/τ）#8226;π（τ） 　　其中： 　　 π（θ，τ）∞τexp-（θ－μ）TQ（θ－μ） 　　 π（τ）∞τa-1e-τβ 　　 μ∈Rp，Q＞0，β＞0 　　记y＝（y1，y2，……yn）T，根据贝叶斯定理，参数（θ，τ）的联合后验分布密度函数与参数先验分布密度函数、模型似然函数二者的乘积成正比，即 　　 π（θ，τ/y）∞π（θ，τ）#8226;L（θ，τ） 　　 ∞τexp-[（θ-AC）A（θ-AC）+D] 　　其中： 　　A＝+Q，C＝+Qμ，D＝2β+μTQμ+y-CTA-1C 　　可以证明：D＞0。由参数的联合后验分布密度函数π（θ，τ/y）对τ在区间（0，θ）上进行积分，便得模型自回归系数θ的边缘后验分布密度 　　π（θ/y）＝π（θ，τ/y）dτ 　　 ∞[（θ-AC）TA（θ-AC）+D]，θ∈Rp 　　上式最后一项具有多元t分布密度函数核的结构形式，并且不难看出:参数θ的边缘后验分布是自由度为n+2a，位置参数为AC和精度阵为（n+2α）AD的多元t分布，即 　　（θ/y）□Mtp（n+2α，AC，（n+2α）AD）， 　　它的后验期望是E（θ/y）＝AC，因此，参数θ的贝叶斯估计为θ＝AC。 　　类似地，由π（θ，τ/y）对θ在区间Rp上进行积分，便得精度参数τ的边缘后验分布密度Yt－1＝yt－1，Yt－2＝yt－2，Yt－p＝yt－p 　　π（τ/y）＝π（θ，τ/y）dθ 　　 ∞τexp-[2β+μQμ+y-CTA-1C] 　　上式最后一项具有伽马分布密