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Copula方法对多变量股指期权定价的研究 　　摘 要:本文给出了完全市场条件下基于Bernstein Copula的多变量欧式期权的风险中性价格。然后将GARCH处理后的沪深两市股指作为数据代入模型进行估计,并采用蒙特卡罗模拟方法对沪深两市股指期权进行实证研究。 　　关键词:多变量期权;Bernstein Copula;相关结构;蒙特卡罗模拟 　　中图分类号:F830.9 文献标识码:A 文章编号:1003-5192(2010)06-0076-05 　　 　　1 引言 　　 　　当今金融市场上,多变量期权是对多元资产风险进行对冲的一种有效地工具,这些期权的价格和两个或者多个标的资产有关。例如,基于若干标的股票的投资组合的组合期权(Basket Option)、比率期权和最大(小)期权以及基于一篮子外汇价格的浮动汇率的期权等等。 　　在Black-Scholes的多维几何布朗运动的框架下[1],Margrabe,Stulz,Johnson和Reiner等给出了基于相关系数的多变量期权的定价方法[2,3]。但是,Embrechts等人指出,除非这些资产的价格(收益)能够很好地服从多维正态分布,否则相关系数不能准确地描述多个资产间的相关结构。因而Copula在多变量期权的定价领域也有广泛的应用[4]。例如,Rosenberg在定价中采用Plackett ?Copula模型进行估计[5],Cherubini和?Luciano在Rosenberg的基础上上对使用Copula类型进行了拓展[6],而Rosenberg则在定价中引入半参数估计的Copula模型[7]。而在更一般的情况下,?Cherubini等人给出了通过概率密度途径对多变量期权进行定价的一般表达式[8]。但是该表达式只适于混合导数的形式比较简单的情形(例如乘积Copula等)。因此,除了使用Monte Carlo(MC)模拟外,目前的大部分定价都是在Black-Scholes理论框架内,假定满足某种特定的Copula函数的条件下给出的[9~11]。 　　然而,Li等人指出Bernstein多项式Copula具有对微分运算封闭,并且能够较好地逼近各种光滑的Copula等性质[12]。因此我们考虑在Bernstein Copula多参数模型的基础上,给出完全市场条件下多变量期权的风险中性定价的一般表达。然后将沪深股指通过GARCH处理后作为经验数据代入模型,得到Bernstein Copula的参数估计,并将模拟的股指期权的价格与基于Gauss型市场相关结构下股指期权的价格的Monte Carlo模拟进行比较。 　　 　　2 Bernstein多项式和Bernstein Copula 　　 　　3 基于Bernstein Copula的多变量期权的定价 　　 　　从表2中的模拟结果我们可以看到,在给定参数值的情况下,Bernstein Copula模型定价和Gauss假设条件下的定价差异不大。其差异体现了两种模型对沪深两市股指的相关结构的拟合的差距,从拟合结果来看,BernsteinCopula具有更好的拟合优度,因此依据该模型进行的Monte Carlo模拟结果更为准确。 　　 　　5 结论 　　 　　本文中我们考虑基于多个标底资产相关结构的多变量欧式期权,该期权的价格和连接函数Copula的选择密切相关。由于Bernstein Copula能够较好地逼近任何类型的Copula,从而可以描述绝大部分多个资产间的相关结构,并且其使用和表述比较方便。因而我们基于Bernstein Copula给出了完全市场条件下欧式期权的风险中性定价的一般表达式。然后将沪深两市股指的数据代入模型对其相关结构进行拟合,最后在拟合结果的基础上,采用Monte Carlo模拟方法将该模型的定价和基于Gauss型正态假设条件下的价格比较,从结果来看基于沪深两市的股指期权的模拟两者相差不太大,但是由于Bernstein Copula的拟合结果更好,因此其模型定价也更为准确。此外该方法可以很好地推广到变量更多(如人民币汇率期权),形式更复杂(如美氏期权)的期权定价中去。 　　本文的实证研究结果对投资机构在做资产组合管理或者风险管理时有着很强的参考价值。例如对于一篮子标的的多期权产品,割裂的看待会导致风险度量的失真,应当考虑各期权的联动性,获得更真实的风险度量以进行风险管理和对冲。推广到更一般的资产组合管理,Copula方法在对组合的风险度量上都有着积极的借鉴意义,值得推广。 　　 　　参 考 文 献: 　　[1]?Black F, Scholes M S. The pricing of options and corporate liabilities[J]