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q-Bernstein-Stancu算子的逼近 　　 摘 要： 设q＞0，α≥0，f∈C[0，1]，B■■（f；x）是q-Bernstein-Stancu算子。当α=0时，B■■（f；x）就是Phillips提出的著名的q-Bernstein算子。本文主要借助光滑模和Lipschitz型空间，研究B■■（f；x）的逼近特征，进一步完善前人的结果。 　　 关键词： q-Bernstein-Stancu算子； 光滑模； Lipschitz型空间； 逼近特征 　　中图分类号： O174.41 文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2011）05-0124-02 　　 　　 一、引言 　　 首先我们给出一些记号和相关的定义。设q＞0，对任意k=0，1，2，…，q型整数[k]和q型阶乘[k]！分别定义为： 　　 [k]：=（1-qk）/（1-q），q≠1k，q=1和[k]!：=[k][k-1]…[1]，k=1，2，… 1， k=0。 　　 对整数0≤k≤n，q型二项式系数或高斯系数定义为：nk：=■。 　　 2009年Grzegorz Nowak[1]提出了q-Bernstein-Stancu算子B■■（f；x）：对任意n=1，2，…，设q＞0，α≥0，f∈C[0，1] 　　 B■■（f；x）=■f■p■■（x）， （1） 　　 这里p■■（x）=nk■，约定空乘积等于1。 　　 当α=0时，B■■（f；x）算子就是q-Bernstein算子。1997年，Phillips[2]提出了q-Bernstein算子B■■（f；x）： 　　 B■（f，x）=■f■nkxk■（1-qsx）， （2） 　　 当q=1时，B■■（f；x）算子就是Bernstein-Stancu算子。1968年，Stancu[3]提出了Bernstein-Stancu算子： 　　 S■（f；x）=■f■■■ 　　 当α=0，q=1时，B■■（f；x）就是著名的Bernstein算子B■（f；x）： 　　 B■（f；x）=■f■■xk（1-x）n-k 　　 q-Bernstein-Stancu算子在逼近理论中有着非常重要的作用，近几年来，越来越引起研究者的兴趣。 　　 设C[0，1]是定义在[0，1]上的连续函数空间，赋予范数‖f‖=■f。对于f∈C[0，1]，我们引入Peetre，s K-泛函：δ＞0， 　　 K（f，δ）=■{‖f-g‖+δ‖g″‖} （3） 　　 和光滑模ω2（f，δ）=■f（x+2h）-2f（x+h）+f（x）。 　　 根据[4]可知，存在常数C＞0使得 　　 K（f，δ）≤Cω2（f，■） （4） 　　 设任意常数M＞0，0＜ρ≤1，Lipschitz型空间如下： 　　 Lip■■（ρ）=f∈C[0，1]：f（t）-f（x）≤M■；t，x∈（0，1] （5） 　　 本文主要借助光滑模ω2（f，δ）和Lipschitz型空间Lip■■（ρ），研究B■■（f；x）的逼近特征，得到下面两个主要结果： 　　 定理1设q∈（0，1），α≥0，f∈C[0，1]和x∈[0，1]，则存在常数C＞0使得B■■（f；x）-f（x）≤Cω2f，■ 　　 定理2设q∈（0，1），α≥0，f∈Lip■■（ρ）和x∈[0，1]，则B■■（f；x）-f（x）≤M■■。 　　 二、定理证明 　　 定理1的证明根据[1]有： 　　 B■■（1；x）=1，B■■（t；x）=x，B■■（t2；x）=■+■ （6） 　　 经计算可得： 　　 B■■（t-x，x）=0，B■■（（t-x）2，x）=■ （7） 　　 设g∈C2[0，1]和x∈[0，1]，应用泰勒公式得： 　　 g（t）-g（x）=（t-x）g′（x）+■（t-u）g″（u）du，t∈[0，1] （8） 　　 这样可得： 　　 B■■（g；x）-g（x）=B■■■（t-u）g″（u）du；x 　　 ≤B■■■（t-u）g″（u）du；x （9） 　　 而■（t-u）g″（u）du≤■‖g″‖，再结合 （7）和（9）可得： 　　 B■■（g；x）-g（x）≤■‖g″‖ （10） 　　 所以，利用（9）和（10）得： 　　 B■■（f；x）-f（x）≤B■■（f-g；x）+B■■（g；x）-g（x）+f（x）-g（x） 　　≤2‖f-g‖+■‖g″‖≤Cω2f，■ 　　 定理1证明完毕。 　　 为了证明定理2，我们需要下面的引理1。 　　 引理1对于x∈[0，1]，有 　　 ■[k]-[n]xp■■（x）≤■■ 　　 证明根据（6），计算可得： 　　 ■（[k]-[n]x）2p■■（x）=（[n]）2B■■（t2；x