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两铰抛物线拱的平面内弹性屈曲分析 　　摘要：利用有限元软件研究了受全跨水平均布竖向荷载作用下的两铰抛物线拱的平面内弹性屈曲性能。研究在不假定任何条件的基础上，给出了较准确的拱的弹性特征值屈曲荷载和屈曲模态；并通过数值分析，给出了拱的矢跨比、长细比等因素对拱的屈曲荷载的影响。比较拱的经典弹性理论中的相关参数，发现经典弹性理论存在的不足。 　　关键词：抛物线拱；面内稳定；弹性屈曲；屈曲临界系数 　　1.引言 　　弹性屈曲是指完善（无缺陷）构件在外荷载作用下保持平衡，当受到微小扰动后偏离原平衡位置的过程。因变形前后出现两个平衡状态，常常也被称为平衡分岔屈曲或分支点屈曲。弹性屈曲问题在数学上表现为求解齐次线性方程组的系数矩阵的特征值问题，故又被称为特征值屈曲分析，其屈曲荷载为方程的特征值，屈曲模态为对应的特征向量。 　　特征值屈曲问题考虑的结构是完善的，材料是完全弹性的。因此分析的结果不能准确的估计拱的极限承载力，很难用于实际结构的设计中。不过特征值屈曲分析揭示了拱最容易发生的屈曲模态等一些拱的本质特性，为进一步分析提供理论依据。且一般特征值屈曲荷载比极限承载力要大很多，常常被用作结构失稳的荷载上限。[1] 　　2.拱的经典弹性屈曲理论 　　拱的经典弹性屈曲理论研究的是抛物线拱在水平均布竖向作用下的拱的平面内弹性屈曲。此时，拱内各个截面只承受轴压力不存在弯矩作用。分析中假定拱轴不可压缩，其平衡路径表现为的理想分岔屈曲。[2] 　　对于两铰抛物线拱，其曲率半径沿拱轴是不断变化的，因此，在压力线荷载作用下，虽然拱内各个截面只承受轴力而没有弯矩，但是轴力沿拱轴却是变化的，对于等截面拱，拱内轴力从拱顶到拱趾均匀的增大。因而直接求解比较困难，一般通过数值法进行，如渐进法、差分法以及有限元法等。[3] 　　很多学者对两铰抛物线拱的弹性屈曲问题进行了研究。表1中给出了经典弹性屈曲理论中两铰抛物线拱的屈曲临界系数，该系数来源于 （1965）。 也曾对该值进行了计算，得出的结果与表1无明显差别。 指出，由其本人及 指导下的实验得出的弹性压屈轴力值与这些理论值紧密吻合。下面给出的两铰抛物线拱的四分之一跨度处的弹性屈曲临界轴力计算公式：[4] 　　 （1） 　　式中：EI―等截面拱的抗弯刚度；S―拱轴长度的一半；K―屈曲临界系数，只与矢跨比 有关。见表1 　　表1 屈曲临界系数K 　　矢跨比f/L 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 　　弹性屈曲系数 　　1.02 1.04 1.10 1.12 1.15 　　3．两铰抛物线拱的弹性屈曲 　　上述研究无一例外都是忽略拱屈曲前的变形对屈曲性能的影响，并假定了拱的变形模式：一、拱轴不可压缩假定，忽略拱屈曲前的变形对位移和刚度的影响。二、拱轴屈曲前无剪切变形，忽略剪切效应的影响。研究表明[5-7]，对于矢跨比较小的浅拱，屈曲前的变形与拱的矢高处于同一个量级，屈曲前的变形不可忽略。对于长细比较小的粗短拱，剪切效应对拱的屈曲性能的影响也能明显。 　　本课题在不做任何假定的基础上，利用ANSYS软件提供的特征值屈曲模块（Eigen Bucking）来进行弹性屈曲分析。求解分成两步：第一步，获取静力解。此过程与静力分析过程一致，通过施加一个参考荷载产生小变形，获取几何刚度矩阵。第二步，获取特征值屈曲荷载和屈曲模态。通过求解屈曲平衡方程的特征值特征向量获得。[8] 　　抛物线拱的屈曲涉及的参数较多，有长细比 ，矢跨比 ,截面属性等。为了方便比较，本文采用与上述公式（1）相类似的弹性屈曲临界轴力的计算公式： 　　 （2） 　　式中：为弹性屈曲荷载对应的拱内最大轴力； ； 为弹性屈曲系数；S为拱轴长度一半。 　　本课题在不任何假定和考虑剪切变形影响的的基础上，通过60组模型考虑了矢跨比 ,长细比 对弹性屈曲荷载，尤其对弹性屈曲临界系数 的影响。相关分析参数为：截面为工字形截面，截面高度 ,翼缘宽度 ,翼缘厚度 ，腹板厚度 ；弹性模量 ，泊松比 。分析中考虑了矢跨比m从0.1到0.5覆盖扁拱到深拱，长细比 从20到200覆盖粗短拱到细长拱。 　　图1～2给出了，不同矢跨比和不同长细比下两铰抛物线拱用有限元方法计算的屈曲 　　临界系数 。从图中可以看出：经典弹性理论的弹性屈曲系数 仅仅与矢跨比m有关，而采用有限元计算的弹性屈曲系数 不仅与矢跨比m有关，而且与长细比 也有关。对于相同的长细比 ，弹性屈曲系数 变化较明显，当矢跨比m小于0.3时， 随着m的增大而 　　增大，且变化不大，当矢跨比大于0.3以后， 随着m的增大反而减小，且变化较明显，说明矢跨比m小的拱不容易发生屈曲，屈曲前的变形对m较大的拱影响较大；对于矢跨 　　比m相同的拱，当长细比 在20到40之间变化时，弹性屈