D6_4重积分应用.ppt

4. 能用重积分解决的实际问题的特点 例1. 求曲面 例6.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量. 备用题 提示: * * 第四节重积分的应用 一、立体体积 二、物体的质心 三、物体的转动惯量 四、物体的引力 作业 习题6.4 1(2), 2 ,3，4, 5，6，7 方法：重积分的微元法 重积分的微元法 1 区域函数及其对域的导数： 以平面区域上的质量问题来说明问题 称为区域函数在该点处对区域的导数。 2\28 称为区域函数在该点处对区域的微分。 2 变域上的重积分对域的导数： 类似定积分中变上限的定积分是被积函数的 原函数一样，二重积分的值随积分区域的变化而 变化，可以看作积分区域的函数，即 由重积分的中值定理值知： 当子域 的直径d趋于0时，区域 收缩到一点 (x, y)，从而 由函数的连续性和区域函数的导数定义可得： 连续函数在变区域上的二重积分作为区域函数， 它在点（x,y）处对区域的导数等于被积函数在该 点的值。 4\28 所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元法 分布在有界闭域上的整体量 6. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 5. 用重积分解决问题的方法 一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域 ? 的立体的体积为 6\28 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 解: 曲面 的切平面方程为 它与曲面 的交线在 xoy 面上的投影为 (记所围域为D ) 在点 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为? 的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 8\28 二、物体的质心 设空间有n个质点, 其质量分别 由力学知, 该质点系的质心坐标 设物体占有空间域 ? , 有连续密度函数 则 公式 , 分别位于 为 为 即: 采用 “分、匀、合、精” 的思想可导出其质心坐标 将 ? 分成 n 小块, 将第 k 块看作质量集中于点 例如, 令各小区域的最大直径 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 的质点, 即得 此质点 在第 k 块上任取一点 10\28 同理可得 则得形心坐标： 若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, (A 为 D 的面积) 得D 的形心坐标: 则它的质心坐标为 其面密度 — 对 x 轴的 静矩 — 对 y 轴的 静矩 12\28 例3. 求位于两圆 和 的质心（形心）. 解: 利用对称性可知 而 之间均匀薄片 例4. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线 的方程为 内储有高为 h 的均质钢液, 解: 利用对称性可知质心在 z 轴上， 采用柱坐标, 则炉壁方程为 因此 故 自重, 求它的质心. 若炉 不计炉体的 其坐标为 14\28 三、物体的转动惯量 设物体占有空间区域 ? , 有连续分布的密度函数 该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量: 对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 16\28 类似可得: 对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量 如果物体是平面薄片, 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分. 18\28 例5.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 解: 建立坐标系如图, 半圆薄片的质量 的转动惯量. 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 则 球体的质量 设球 所占域为 (用球坐标) 20\28 G 为引力常数 五、物体的引力 设物体占有空间区域 ?, 物体对位于原点的单位质量质点的引力 利用元素法, 在?上积分即得各引力分量: 其密度函数 引力元素在三坐标轴上的投影分别为 对 xoy 面上的平面薄片D , 它对原点处的单位质量质点 的引力分量为 22\28 例7. 设面密度为μ ,半径为R的圆形薄片 求它对位于点 解: 由对称性知引力 处的单位质量质点的引力. 。 例8. 求半径 R 的均匀球 对位于 的单位质量质点的引力. 解: 利用对称性知引力分量 点 24\28