FIR 滤波器和 IIR 滤波器格型结构.doc

4.3.5 全零点格型结构 1973年，Gray 和Markel 提出一种新的系统结构形式，即格型结构（lattice structure）。这是一种很有用的结构，在功率谱估计、语音处理、自适应滤波等方面以得到了广泛的应用。这种结构的优点是，对有限字长效应的敏感度低，且适合递推算法。 这种结构有三种形式，即适用于FIR系统的全极点格型结构和适用于IIR系统的全极点和零极点格型结构。下面先介绍图7.10所示的全零点格型结构。其他两种个性结构将留到第4.3节讨论。 格型结构是由多个基本单元级联起来的一种极为规范化的结构。图7.11 示出其中的第极。与FIR滤波器的直接型结构一样，全零点格型结构也是没有反馈支路的， 图7.10 全零点格型结构 图7.11 全零点格型结构的基本单元 让我们从一组FIR滤波器的系统函数开始研究全零点格型结构。 图7.10 中，以为输入序列，后接个格型级，这样就形成个滤波器：第（）个滤波器有两个输出，即上输出和下输出。以为输出的滤波器称为前向滤波器；以为输出的滤波器称为后向滤波器。 对于个前向FIR滤波器，它们的系统函数为： （18） 式中，是多项式： （19） 这里，为了数学推导的方便，令式子右边第1项为1；下标代表滤波器序号，也代表滤波器的阶数，例如，给定 以及，则第4个滤波器的系统函数为 设第个滤波器的输入、输出序列分别是和，则 （21） 其直接型实现如图12所示。 图7.12 FIR滤波器的一种直接实现形式 阶滤波器的输出可表示为 （22） 该输出也可以从图12所示的第一级格型滤波器得到。图中，两个输入端联在一起，激励信号为。从两个输出端得到的信号分别为 和： （23） 其次我们考虑二阶FIR滤波器，它的直接型结构输出为 （24） 上式将输出表示为两个向量的内积，T 表示向量转置。 相应地，这个二阶滤波器可以用两个级联的格型单元（图10 前面的两级）来实现。，图中，第一级的输出为 （25） （26） 将式（25）中的代入式（26）中，得 （27） 现在令式（24）和式（27）的系数相等，即 （28） 于是，得二阶格型结构的参数 （29） 其中，这个结果是很容易理解的。从图7.12 看，如果滤波器阶数，则时延为2的输入输出传输值为，而从图7.10看，从输入到上端输出有三条可能的支路，而其中时延为2的支路传输值为。如果这两个流图等效，则应有。因此可以推论，若有个格型级，则其最右边的支路与直接型结构的参数相等： （30） 为了得到其它支路传输值与直接型结构的参数之间的关系，我们需要从图7.10 所示的阶格型结构的最右边做起：根据阶滤波器的直接型参数，依次求， 阶滤波器的直接型参数。这是降阶递推。只要求出阶滤波器的系数组，则格型结构的支路传输。 式（29）表明，二阶格型结构的两个参数和可以根据直接型结构的参数求出。继续这个过程，可以得到一个阶直接型FIR滤波器和一个阶或级格型滤波器之间的等效性。按照图7.10，格型滤波器可用递归方程描述为 （31） （32） （33） 因此，第级滤波器的输出相当于 阶FIR 滤波器的输出，即 （34） 因为FIR滤波器和格型滤波器的输出可以表示为