专题-物理-L28-万有引力计算天体质量与密度问题.pptx

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专题-物理-L28-万有引力计算天体质量与密度问题

万有引力计算天体质量和密度 物 理 专 题 一、天体质量计算的几种方法 万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题.天体运动遵循与地面上物体相同的动力学规律.行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动,由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力. 应用万有引力定律,不仅可以计算太阳的质量,还可以计算其他天体的质量.下面以地球质量的计算为例,介绍几种计算天体质量的方法: (1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T,半径为r,根据万有引力等于向心力, 即 =m月 r2,可求得地球质量M地= . (2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运动的线速度v,由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力,根据牛顿第二定律,得 G =m月 . 解得地球的质量为M地=rv2/G. (3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T,由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力,根据牛顿第二定律,得 G =m月·v· G =m月. 以上两式消去r,解得 M地=v3T/(2πG). (4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g,根据物体的重力近似等于地球对物体的引力,得 mg=G , 解得地球质量为M地= . 由以上论述可知,在万有引力定律这一章中,求天体质量的方法主要有两种:一种方法是根据天体表面的重力加速度来求天体质量,即g=G ,则M= ,另一种方法是根据天体的圆周运动,即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供,列出方程: G =m r=m =mω2r来求得质量M= = = 用第二种方法只能求出圆心处天体质量(即中心天体). 二、天体密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度. 由mg= 和M=ρ· πR3, 得ρ= . 其中g为天体表面重力加速度,R为天体半径. (2)利用天体的卫星来求天体的密度. 设卫星绕天体运动的轨道半径为r,周期为T,天体半径为R,则可列出方程: G =m r,M=ρ· πR3, 得ρ= = = . 当天体的卫星环绕天体表面运动时,其轨道半径r等于天体半径R, 则天体密度为:ρ= . 例题1 已知海王星的直径为地球直径的4倍,海王星表面的重力加速度与地球表面重力加速度大致相等,试估算海王星的质量.(已知地球质量M地=6.0×1024 kg)   解析: 设海王星质量M海,半径为R海,地球质量M地,半径R地,对海王星而言,处于海王星表面的物体受到海王星作用的重力就是海王星与物体之间的万有引力. 即mg海=G 可得 g海= 同理地球表面的重力加速度g地= 因g海≈g地,所以G =G M海=16M地=9.6×1025 kg. 例题2 在某行星上宇航员用弹簧秤测质量为m的物体的重力为F,乘宇宙飞船在靠近该行星的空间飞行,测得其环绕周期为T,根据这些数据求该星球的质量. 解题思路:在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力, 在行星附近飞行的飞船,由万有引力提供其做圆周运动的向心力. 解析: 设行星的质量为M,半径为R,表面的重力加速度为g,由万有引力定律得 F=mg= ① 飞船沿星球表面做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得 =m R ② 联立以上两式得 例题3 假设在半径为R的某天体上发射了一颗该天体的卫星,若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T0.已知万有引力常量为G,则该天体的平均密度是多少?若这颗卫星距该天体表面的高度为h,测得在该处做圆周运动的周期为T,则该天体的密度又是多少? 解析: 利用公式M= ,计算出天体质量,再利用ρ= 计算天体的密度. 其中r为天体运动的轨道半径,R为中心天体的半径, 只有贴近中心天体表面运行时才有r=R.设卫星的质量为m, 天体的质量为M,卫星在天体表面运行时,G =m R , 得M= 根据数学知识星球的体积V=4/3 πR3. 所以天体的密度ρ=M/V = 若卫星距天体表面高为h处运行,则有 本课小结 动力学分析 计算方法 典型例题 下节课 再见 一、计算天体的质量 1.地球质量的计算 利用地球表面的物体,若不考虑地球自转,质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力,即mg= ,则M= ,由于g、R已经测出,因此可计算出地球的

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