拉普拉斯变换中的单位阶跃函数及其作用..pdf

第 9卷 第 5期 天津职业院校联合学报 No ．5V01．9 2007年 9月 JournalofTianjinVocationalInstitutes Sep．2007 拉普拉斯变换中的单位阶跃函数及其作用 李广全 (天津机电职业技术学院，天津市 300131) 摘 要 ： 介绍拉 氏变换 的定义、单位阶跃函数及单位脉冲函数 ，研 究单位阶跃函数与单位脉冲函数 的关系，并 结合使用拉 氏变换容易产生的错误，进一步研究单位脉冲函数的性质及其作用，有助于拉 氏变换的正确使用。 关键词 ： 拉普拉斯变换；单位阶跃函数 ；单位脉冲函数 ；延滞性质 中图分类号 ：O211．63 文献标识码 ：A 文章编号 ：1673—582X(2007)05—0076—04 拉普拉斯变换 (简称拉氏变换)是一种函数积分变换 。由于利用拉 氏变换可以将微分方程转化为代数方程 ，而且 在转化的同时可以将初始条件代人，使得求微分方程满足初始条件特解的过程大为简化，又 由于 自动化理论中的传 递函数也是建立在拉氏变换的基础之上，因此，拉 氏变换是 自动化控制理论的数学基础，同时是各个学科 中求解微分 方程的有力工具 。 在应用拉氏变换时，必须要注意到单位阶跃函数 的作用 ，避免发生概念上 的混淆 ，从而简洁准确地解决 问题 。 一 、 拉 氏变换 的概念 设函数 ，()定义在[0，+o。)上，若广义积分J ，()e 收敛，则此积分就确定了一个变量为 s的函数，记为F ()，即 F(s)=J 厂()e dt (1) 式 (1)叫做函数_厂()的拉 氏变换 (或象函数)。 对拉 氏变换的上述定义需要做如下的说明： (1)定义中，只要求函数_厂()当t 0时有定义，为了方便，通常假定当 0时 ，()兰0。这种假定是符合实际情 况的，一个物理过程 中，研究的过程一般是从时间 t=0开始 ，在 0时，物理过程没有发生 ，表示过程的函数取 0值 。 (2)定义 中的函数 F(s)是复变量 S= +如 的函数 ，拉 氏变换将实变量函数 ，()转化为复变量函数 F(s)。对于没 有学习复变函数的技术人员，可 以把 s作为实数来讨论 ，这样并不影响对拉 氏变换性质 的研究及应用 。 (3)为了保证广义积分f ，()e dt收敛 ，一般要求函数 ，()在 t三三=0的任意一个有限区间上只有有限个第一类 间断点 ，并且存在两个常数M0，0使得 0时，恒有 f-厂()f Me成立 。 二 、单位阶跃 函数与单位脉冲 函数 1．单位 阶跃 函数 ， 0 0 设函数 ()= {÷。≤e，则()=lmi。I,(={；：称为单位阶跃函数(图)。 l0 、 在 自动化控制系统中，单位阶跃函数表示一个突加作用信号 ，相当于一个开关的闭合或断开。 2．单位脉冲 函数 ， 0 0 设函数 ( ：{÷。≤e，则(= (：j ：称为单位脉冲函数(图2)。在自动化系统中，单位脉 10 ￡ 收稿 日期 ：2006—10—25 作者简介：李广全 (1948一)，男，天津市人 ，天津机电职业技术学院副教授，从事高职数学教学研究。 ·76 · 冲函数表示一个瞬时扰动信号 ， (r) Jr(f) I J1 1 1