数学(二)模拟试题一.doc

数学(二)模拟试题一 一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上) (1) 极限=_____________. (2) 星形线，在点(,)处的曲率半径为___________. (3) 积分=______________. (4) 微分方程的通解是__________________________. (5) 设，A =，则=_______________. (6) 设三阶实对称矩阵A有三个不同的特征值，所对应的特征向量分别为 ，则所对应的特征向量=________________. 二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 已知x = 0是函数是的可去间断点，则常数a , b的取值范围是 (A) a = 1，b为任意实数. (B) a ( 1，b为任意实数. (C) b = (1，a为任意实数. (D) b ( (1，a为任意实数. [ ] (2) 设函数f (x)在x = 0处可导，则函数f (|x|)在x = 0处可导的充要条件是 (A) f (0) = 0. (B)= 0. (C) f (0) = 0且= 0. (D) 与f (0)及的取值无关. [ ] (3) 设函数f (x)是在((( , +()内连续的单调增加的奇函数，. 则F(x)是 (A) 单调增加 的非奇非偶函数. (B) 单调减少的非奇非偶函数. (C) 单调增加 的奇函数. (D) 单调减少 的奇函数. [ ] (4) 设函数f (x)与g(x)在[a , b]上连续且都大于零，则在区间[a , b]上由曲线y = f (x)，y = g(x) 所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] (5) 对于广义积分，下列结论正确的是 (A) 当p 1时，收敛. (B) 当p 1时，收敛. (C) p取任意实数都收敛. (D) p取任意实数都发散. [ ] (6) 设n阶方阵，，， 记向量组I：，II：，III：. 如果向量组III 线性相关，则 (A) 向量组I线性相关. (B) 向量组II线性相关. (C) 向量组I与II都线性相关. (D) 向量组I与II至少有一个线性相关. [ ] 三、(本题满分8分) 求. 四、(本题满分9分) 设f (x)有连续导数，且，当f (0)取何值时，f (0)是f (x)的极值？ 并说明它是极大值还是极小值. 五、(本题满分10分) 设f (x)在((( , + ()上有定义，，且对( x , y ( ((( , + ()， 有f (x + y) = f (x) + af (y)，求常数a及f (x). 六、(本题满分11分) 设f (x)在[0 , 1]上可微，且f (0) = 0，. 证明：. 七、(本题满分11分) 有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光滑曲线，P(x , y)为曲线上的任一点. 设曲线 在原点与P点之间的弧长为，曲线在P点处的切线在P点与切线跟y轴的交点之间的 长度为，已知，求该曲线方程. 八、(本题满分11分) 已知当x 0时，方程只有一个实根，求常数a的取值范围. 九、(本题满分9分) 设一底半径为r，高为h的圆锥形容器被隔成左右对称不相连通的两部分，右半部分 盛满水. 若把右半部分的水抽到左半部分，使容器左半部分的水的体积是右半部分的七倍， 求抽掉右边那部分水所需作的功. 十、(本题满分11分) 设f (x)在[0 , 1]上可导，且f (1) = 0，， 证明：至少存在( ( (0 , 1)，使. 十一、(本题满分10分) 讨论并求方程组的解，其中a , b为常数. 十二、(本题满分12分) 已知2维非零向量x不是2阶方阵A的特征向量. (1) 证明：x，Ax线性无关. (2) 若，求A的特征值并讨论A可否相似对角化.