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数学二模拟试卷（二） 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。 （1）设 其中是有界函数，则在处 极限不存在 极限存在，但不连续。 连续，但不可导。 可导。 [ ] （2）设，则在处 的导数存在，且。 的导数不存在。 取得极小值。 取得极大值。 [ ] （3）曲线与轴所围成的图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 [ ] （4）设线性无关的函数都是的解，是任意常数，则该微分方程通解是 [ ] （5）二元函数在点处具有 连续，偏导数存在。 连续，偏导数不存在。 不连续，偏导数存在。 不连续，偏导数不存在。 [ ] （6） [ ] （7）已知A和B都是n阶矩阵,使得E+AB可逆?A) ?E+AB?A?E+AB?-1=A?. (B)? ?E+AB?-1B?E+AB?=B. (C)? ?E+AB?-1A?E+BA??A. (D)????E+AB?-1A?E+BA?=B. （8）(1,(2,(3是齐次0的三个不同的解，给出四个断言(1,(2,(3和AX=0的一个(1,(2,(3也是AX=0的(1,(2,(3是AX=0的一个0的每个解都可以用(1(2,(3线性表示并且表示方式唯一 ③?如果AX=0的每个解都可以用(1(2,(3线性表示并且表示方式唯一则(1(2,(3是AX=0的一个?④?如果n-r(A)=3,则(1,(2,(3是AX=0的一个?①②③. (B)②③④. (C)?①②③④. (D)?②③. 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。把答案填有题中横线上。 （9） （10）设，其中可导，且，则 （11） （12）设具有二阶连续导数，而满足方程，则 （13）微分方程的通解为 （14） 3 3 -2 n阶实对称矩阵A相似于矩阵 0 2 4 ,??是实数??E是正定矩阵的充 分必要条件是?满足?????????????????????????????? 三、解答题：15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分） 求 （16）（本题满分11分） 讨论在处可导性。 （17）（本题满分10分） 设连续，，证明：。 （18）（本题满分10分） 设连续，满足，求。 （19）（本题满分11分） 设变量可把方程简化为，求常数和。 （20）（本题满分10分） 求函数在约束条件下的最小值（已知存在） （21）（本题满分10分） 计算二重积分， 其中 （22）（本题满分11分） ①设A=(?1,?2,?3)是5(3实矩阵,r(A)=3.又设实向量?1,?2构成ATX=0的基础解系,证明(?1,?2,?3,?1,?2)是可逆矩阵. ② 1 0 2 -1 -4 A= 1 2 -2 -1 0 ,求AX=0的单位正交基础解系. -1 1 1 1 1 （23）（本题满分11分） 1 -1 2 设A= a 1 c ,存在秩大于1的3阶矩阵B,使得BA=0. b -2 4 ① 求a,b,c? ② 求A的特征值和它们的重数. ③ 作3阶可逆矩阵P,使得P-1AP是对角矩阵. 2009年研究生入学考试 数学二 模拟试卷（二）的答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D D C A C D 二、填空题： （9） （10）3 （11） （12） （13） （14）?0 （15）解：　 而　　　 ；　　 则 由夹逼准则可知　　　 （16）解： 时，；时， 于是 ； 因此 ，在处可导 （17）证：　 而 　　　 　　　代入上式 则得　　　 （18）解： 　即　　 因此　　 （19）解： 代入 得　　 要求 和 且 因此 （20）解： 令 用乘乘乘得 将分别代入得 ， ， 故得最小值为 （21）解：令 　　　　　　 于是 则 （23）①a=-1,b=2,c=-2. ② 0,0,6.