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概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布
三、常见的连续型分布 均匀分布的分布函数为 三、常见的连续型分布 例10 试用均匀分布来求解下题: 某城际轻轨从上午7时起,每隔15分钟来一趟车,一乘客在9:00到9:30之间随机到达该车站, ⑴该乘客等候不到5分钟乘上车的概率; ⑵该乘客等候时间超过10分钟才乘上车的概率. 三、常见的连续型分布 解 设该乘客于上午9时过X分钟到达该车站,由于乘客在9:00到9:30之间随机到达,因此X服从区间(0,30)上的均匀分布,即X的密度函数为 ⑴该乘客等候时间不到5分钟,必须且只需在9:10到9:15之间或在9:25到9:30之间到达车站,因此所求概率为 ⑵同⑴的分析方法类似可得到所求概率为 三、常见的连续型分布 2.指数分布 如果X的密度函数为 为常数 称随机变量X服从参数为 的指数分布(Exponentially distribution),记为 服从指数分布的随机变量X的分布函数为 三、常见的连续型分布 定理3 非负连续型随机变量X服从指数分布的充分必要条件是:对任意正实数r和s,有 三、常见的连续型分布 例11 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(单位:min)服从参数为0.2的指数分布,如果有人刚好在你前面走进银行并开始办理业务(假定银行只有一个窗口提供服务),试求你将等待⑴超过5分钟的概率,⑵5分钟到10分钟之间的概率. 三、常见的连续型分布 解 令X表示银行中正在办理业务的人所用的时间,由题意可知,X服从参数为0.2的指数分布,因此X的密度函数为 所求概率分别为: 三、常见的连续型分布 3.正态分布 定义5 若随机变量X的密度函数为 则称X服从参数为 的正态分布(Normal distribution),或高斯分布(Gauss distribution).记作 .其分布函数为 三、常见的连续型分布 当 时,称正态分布N(0,1)为标准正态分布, X的密度函数记为 分布函数记为 三、常见的连续型分布 定理4. 设 ,则有 (1) (2) (3) (4) 三、常见的连续型分布 例12 设 借助于标准正态分布的分布函数表计算 (1) (2) (3) (4) 三、常见的连续型分布 解 (1) (2) (3) (4) 三、常见的连续型分布 定理5 设 ,则 (1) (2) 三、常见的连续型分布 例13 设Y服从N(1,5,4),计算 (1) (2) (3) (4) 三、常见的连续型分布 解 (1) (2) (3) (4) Thank you * * * * * 二、离散型随机变量的分布律 则有 于是X的分布律为 二、离散型随机变量的分布律 例2 设随机变量 的分布律为: 求 (1) (2) Y=2X+3 的分布律。 二、离散型随机变量的分布律 解:由X的分布律可列出下表 二、离散型随机变量的分布律 由上表可定出 的分布律为: (2) 的分布律为: 三、常用的离散型分布 1. (0-1)分布 如果X的分布律为 其中 ,则称X的分布为(0-1)分布或两点分布(Two-point distribution). 三、常用的离散型分布 2. 二项分布 在n重伯努利试验中,如果以随机变量X表示n次试验中事件A发生的次数,则X可能取的值为 ,且由二项概率得到x取k值的概率 因此,X的分布律为 称这个离散型分布为参数为n,p的二项分布(Binomial distribution),记作 ,这里 三、常用的离散型分布 例3 一个袋子中装有4个球,3个白球,1个黑球。从中任意取出1球,观察其颜色,放回袋中。共取出三次。设 为取出黑球的次数,求随机变量 的分布律及至多取出一次黑球的概率. 解 每次取出黑球的概率为1/4,可认为做3次重复独立的试验,每次试验中事件发生的概率为1/4,因此取出黑球的次数X服从参数为3,1/4的二项分布 ,其分布律为 三、常用的离散型分布 即为 至多取出一次黑球的概率为 三、常用的离散型分布 3. 几何分布 设随机变量X的分布律为 P 则称X服从参数为p的几何分布(Geometricdistribution),记作 三、常用的离散型分布 几何分布具有下列无记忆性: 因此代入即得结论。 三、常用的离散型分布 4.超几何分布 设N,M,k为正整数,且 , ,若随机变量X的分布律为 则称X服从参数为n,M,N的超几何分布(Hype-geom
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