概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征.ppt

一、数学期望概念 解： 一、数学期望概念 例3 设随机变量X的概率密度为 求 的数学期望. 解： 一、数学期望概念 例4 设(X,Y)服从A上的均匀分布，其中A为由x轴、y轴及直线x+y=1围成的平面三角形区域，求E(3X+Y) 解： ，则 二、数学期望的性质 1.设c是常数，则有E(c)=c. 2.设X是一个随机变量，c是常数，则有E(cX)=cE(X) 3.设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y). 4.设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有 E(XY)=E(X)E(Y) 二、数学期望的性质 例5 一客车载有20位乘客，途经10个车站，车上乘客只下不上.如到达一个车站没有乘客下车就不停车.设X为停车的次数，求E(X)（设每位乘客在各个车站下车是等可能的，并设各乘客是否下车相互独立）。 解：设 第二节 方差和标准差 1 2 方 差 常见分布的方差 3 方差的性质 一、方差 定义3 设X是一个随机变量，若 存在，则称 为X的方差（Variance），记为D(X)或Var(X)，即 = = 在实际应用中，为了与的单位一致，又引入了 ，记为 ，称为标准差(Standard deviation)或均方差(Mean square deviation). 一、方差 例5 证明 证 由数学期望的性质得 二、常见分布的方差 …… 三、方差的性质 1.设c是常数，则有D(c)=0. 2.设X是一个随机变量，c是常数，则有 3.设X,Y是两个随机变量，则有 特别地，若X,Y相互独立，则有 第三节 协方差、相关系数和矩 1 2 协方差概念 协方差性质 3 4 相关系数 矩(Moment) 一、协方差概念 定义4 称为随机变量X与Y的协方差(Covariance)，记为 即 将 的定义式展开，可得 二、协方差性质 1. 2. 3. 4. 5. 三、相关系数 定义5 称为随机变量X与Y的相关系数（Correlation coefficient），或标准协方差（Standard Covariance)。 三、相关系数 例7 设(X,Y)的分布律为 求 三、相关系数 解 三、相关系数 相关系数 是一个无量纲的量，有如下性质： 1. ； 2. 当 时，称X和Y不相关； 3. 当 时，称X和Y完全相关，其充要条件为：存在常数 使得 三、相关系数 上述性质说明X与Y的相关系数是衡量X与Y之间线性相关程度的量。当 时，Y随X的增大而线性地增大，此时称X与Y线性正相关（Positive correlation）; 当 时，Y随X的增大而线性地减小，此时称X与Y线性负相关（Negative correlation）. 当 时，X与Y之间就不存在线性关系，此时称X与Y不相关（Uncorrelated）。 四、矩(Moment) 定义6 设X是随机变量，若 存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。 若 存在，称它为X的k阶中心距。 Thank you * * * * * 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 第五章 随机变量的数字特征 概率论与数理统计 方差和标准差 2 协方差、相关系数和矩 3 数学期望 1 第五章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 1 2 数学期望概念 数学期望的性质 一、数学期望概念 定义1 设离散型随机变量X的分布律为 其中 ，若级数 绝对收敛，则称级数 的和为随机变量X的数学期望(Mathematical expectation)，记为E(X).即 E(X) = ，数学期望简称期望，又称为均值. 一、数学期望概念 例1 甲、乙两人进行射击，所得分数分别记为 ， ，它们的分布律分别为 试评定他们的成绩的好坏. 一