概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布.ppt

一、二维离散型随机变量概念 定义4 若二维随机变量(X,Y)的可能取值是有限多对或可数无穷多对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量，称它的分布为二维离散型分布。 定义5 二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值为 称 为(X,Y)的联合分布律(Joint probability distribution)，其中 一、二维离散型随机变量概念 定义6 称 为X的边缘分布律。 称 为Y的边缘分布律。 一、二维离散型随机变量概念 称 为在 条件下随机变量X的条件分布律(Conditional distribution)。 称 为在 条件下随机变量 的条件分布律。 一、二维离散型随机变量概念 二维离散型随机变量联合分布律、边缘分布律表1 一、二维离散型随机变量概念 例1 设随机变量X在1，2，3，4中等可能地取值，另一个随机变量Y在1 中等可能地取一整数值，求(X,Y)的联合分布律，边缘分布律，条件分布律，并判断X与Y是否相互独立。 解 由乘法公式求得(X,Y)的联合分布律为，’ = 一、二维离散型随机变量概念 表2 一、二维离散型随机变量概念 容易求得边缘分布律并可验证X与Y不是相互独立的。 由 = ，（j=1,2,3,4）， 得 在X=1的条件下，Y的分布律为 二、二维离散型随机变量函数的分布 例2 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为： 求：（1）Z=2X+Y (2)Z=XY的分布律。 二、二维离散型随机变量函数的分布 解：由 的联合分布律可列出下表 二、二维离散型随机变量函数的分布 由上面的列表可得 （1）Z=2X+Y的分布律为： （2）Z=XY的分布律为： 第三节 二维连续型随机变量 1 2 二维连续型随机变量概念 二维连续型随机变量函数的分布 3 常见的二维连续型随机变量的联合分布 一、二维连续型随机变量概念 定义7 F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，如果存在着一个二元非负实值函数f(x,y)，使得对任何 x,y有 则(X,Y)二维连续型随机变量， f(x,y)为二维随机变量 的联合概率密度(Joint probability density function),简称联合密度函数。 一、二维连续型随机变量概念 联合密度函数f(x,y)具有下列性质： 1. 2. 3. 为连续函数，且在f(x,y)的连续点处， 一、二维连续型随机变量概念 定义8 称 为X的边缘密度函数。 称 为Y的边缘密度函数。 一、二维连续型随机变量概念 定义9 称 为在Y=y条件下X的条件概率密度,称 为在X=x条件下Y的条件概率密度. 定理2 设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y相互独立等价于 一、二维连续型随机变量概念 例3 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 求：（1）常数c；（2） ; （3）边缘密度函数; (4)条件密度函数; （5）判断X ,Y的独立性。 一、二维连续型随机变量概念 解 （1）由性质 得到 (2) (3) 一、二维连续型随机变量概念 (4) = = (5) 因此X ,Y相互独立。 二、二维连续型随机变量函数的分布 1.Z=X+Y的分布 设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，则由分布函数的定义知，Z=X+Y的分布函数为： = 这里的积分区域 是直线x+y=z及其下面的半平面。 二、二维连续型随机变量函数的分布 定理3（卷积公式） 若(X,Y)的联合密度为f(x,y)，则 Z=X+Y的密度函数为 或 特别地，当X与Y相互独立时，有 或 二、二维连续型随机变量函数的分布 例4 设随机变量X和Y相互独立，且他们都服从N(0，1)，则Z=X+Y～N(0,2) 证 = 二、二维连续型随机变量函数的分布 定理4 若随机变量X和Y相互独立，且 则 推论 若 ~ ， ， 且它们相互独立，则它们的线性组合 仍服从正态分布，即 ~ ， 二、二维连续型随机变量函数的分布 2.