求解方程近似解的改进双曲线型迭代算法.pdf

第 29 卷 第 2 期 北 京 化 工 大 学 学 报 Vol. 29 , No. 2 2002 年 JOURNAL OF BEIJ IN G UN IV ERSIT Y OF CHEMICAL TECHNOLO GY 2002 求解方程近似解的改进双曲线型迭代算法 马世海 　田文德 　姚 　飞 (北京化工大学化学工程学院 , 北京 　100029) 摘 　要 : 应用双曲线逼近法 ,在分析了迭代算法思想的基础上 ,结合过程模拟与系统仿真的实际 ,推导出求解方程 f ( x) = 0 近似根新型迭代算法 ,并给出了迭代格式和计算方法 。计算结果表明 ,用此算法求解方程的根 ,收敛速度 及稳定性均好于割线法 ,初值选取范围比牛顿法和割线法宽 。此算法的提出对于方程求根的理论分析和工程应用 都有十分重要的意义 。 关键词 : 方程求解 ;迭代算法 ;过程模拟 ;数值方法 中图分类号 : O241 引　言 普遍的迭代算法的基本思想是用近似曲线 f 0 ( x) 来 逼近原曲线 f ( x) , 求解近似曲线的零点即f 0 ( x) = 过程模拟及系统仿真中, 经常遇到求解方程及 0 从而得出原方程的根 。目前常用的典型迭代算法 方程组的问题, 尤其是对于一元方程求根的问题更 ( ) ( 有 :牛顿法 Newton iterative algorithm 、割线法 Se 是屡见不鲜 。对于求解方程 ) ( cant iterative algorithm 以及抛物线法 Muller itera f ( x) = 0 tive algorithm) [ 2] 。 的根, 如何通过数值方法求解, 人们已经做了许多研 牛顿法是利用切线对曲线进行逼近得到迭代序 究, 其中最常用且有效的数值计算方法是迭代法 。 列[ 3] : 早期的简单迭代算法虽然可用于求解方程的根, 但 f ( x k) ( ) 是算法的收敛速度比较慢, 并且有时有发散现象, 尤 x k + 1 = x k - ( ) 1 f ′x k 其当初值选取不当时, 则有可能无法求得方程的正 该法为单点迭代法, 具有局部收敛性, 收敛速度快, 确根; 同时算法求解的稳定性也不十分理想 。而随 收敛阶为 2 阶; 但必须计算函数的导数, 且对初值的 后进行改进的迭代算法, 虽然在收敛速度及计算精 选取要求比较严格, 有时因振荡或发散使迭代不收 度上都有了很大的提高[ 1] , 但是这些算法在过程模 敛; 对于函数导数无法求取时, 牛顿法则无能为力 。 拟及系统仿真的实际应用中, 其收敛的稳定性, 以及 割线法通过