直线方程(一中学案).doc

知识结构、 从几何直观到代数表示（建立直线的方程） 重点 1.直线的倾斜角、斜率的概念；直线方程（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式） 2.两条直线的位置关系：平行与垂直，两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式 难点 坐标法，用代数语言描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，然后用代数运算的结果来归结几何问题 数形结合思想的运用，灵活的在代数描述和几何直观间切换，并明晰这种内在的关系 倾斜角与斜率 1.中点坐标公式 已知,设点是线段AB的中点，则中点坐标公式 2.直线的倾斜角 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角。 规定：与平行或重合的直线的倾斜角为0° 倾斜角可能是锐角、钝角、直角、或零角。因此直线倾斜角的取值范围是[0°,180°). 3.直线的斜率 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示。 当倾斜角为锐角时，斜率大于0 当倾斜角为钝角时，斜率小于0 当倾斜角是0时，斜率等于0 当倾斜角为90°时，斜率不存在 过两点，斜率公式为 注意，当的时候，过的直线斜率不存在， 【例1】设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点逆时针旋转45°得到直线，求直线的倾斜角。 【例2】已知点，求过点P、Q的直线斜率及倾斜角的取值范围 两条直线平行与垂直的判定 两条直线平行于垂直的判定 (1)设两条不重合的直线的斜率分别为，若∥，则.若⊥，则 (2)两条不重合的直线的斜率存在，的斜率不存在，则与不平行； 当的斜率为0时，直线与垂直 (3)若两条不重合的直线与的斜率都不存在，则∥。 【例1】已知菱形的三个顶点(a,b)、(-b,a)、(0,0)，那么菱形的第四个顶点为多少 【例2】(1)已知一点的坐标A(5,－2)，B(3，0)，C(0，3)，求证，这三点共线 (2)如果三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)在一条直线上，求a的值 直线的点斜式方程 1.若直线经过点及点（点P不同于点）且斜率为，则与、P的坐标之间的关系是 2.若直线经过点且斜率为，则直线的方程是，这个方程由直线上一点和直线的斜率确定，所以叫做直线方程的点斜式 3.若直线的斜率是，其与y轴的交点是，带入直线方程的点斜式，的直线的方程是，也就是，我们称b为直线在y轴上的截距，这个方程由直线的斜率和截距确定，所以叫做直线的斜截式 4.当直线的倾斜角为0°且过点时，直线的斜率是0，其方程是；当直线的倾斜角为90°且过点，直线的斜率不存在，且方程是 【例1】求倾斜角是直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程。 （1）经过点 （）在y轴上的截距是－5 【例2】直线过点且与x轴，y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线的方程 直线的两点式和截距式方程 1.已知直线经过两点，（），则直线的斜率是，带入点斜式，得直线的方程为（或者）；当时，方程可以些为。这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式 2.已知直线与x轴的交点为（a，0），与y轴的交点为（0，b）（a≠0,b≠0）,则直线的两点式方程为，可以整理成，它是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以叫做直线的截距式，其中a叫做横截距，b叫做纵截距 【例1】求经过点A(－3，4)，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程. 【例2】如图，某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定数量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费y(元)与行李重量x(千克)的关系用直线AB的方程表示，试求： (1)直线AB的方程 (2)旅客最多可免费携带多少行李？ 直线的一般方程 1.直线的斜率是，在y轴上的截距为；B=0,A≠0时，直线方程为 2.叫做直线方程的一般式。 【例1】已知直线经过点A(－5，6)和点B（－4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图 【例2】设直线的方程为，试根据下列条件，分别求出m的值。 (1) 在x轴上的截距为－3 (2) 的斜率为1. 两直线的交点坐标 1.求两直线的交点解对应方程组 2.两直线的位置关系与两直线的交点存在等价关系 ①与相交两直线有一个交点方程组有唯一解 ②∥与无交点方程组无解 ③与重合与有无数个交点交点方程组有无数个解 3.已知直线：与：相交，则方程表示过与交点的直线 【例1】试求三条直线构成三角形的条件 【例2】在直线上求一点P，使得： (1)P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大 (2)P到A(4，1)和C（3，4）的距离之和最小 两点间的距离 1.已知平面上两点，，则 2. ，，若与X轴垂直，则，若则 【例1】已知直线过点P（3，1），且被两平行直线和截得的线段的长度为5，求直线的方程 【例2】如图，已知点A（2，0），B（0，2），试在线段AB上求一点P，使得最小，并求