离散傅立叶级数（DFS）.doc

（原创）离散傅立叶级数（DFS）（图） 上一回说到，非周期信号的离散时间序列，理论上可由离散时间傅里叶变换（DTFT）求出其频谱函数，一般是连续频谱。但连续频谱不便于计算机处理，必须进一步探索路子，建立时域离散和频域离散的对应关系。 一、离散时间周期序列 如果对一个连续时间周期信号，利用单位样值序列（类似于狄拉克梳状函数） （1） 进行抽样，则可得到离散时间周期序列： （2） 如果以连续时间周期信号为三角波为例，则抽样后的离散时间周期序列如下图所示： 图1 离散时间周期序列举例 离散时间周期序列的频谱是否也是离散周期序列呢？ 二、DFS的定义 我们知道，对于连续时间周期信号，可展开为傅立叶级数 （3） 而对于序号n以N为周期的离散时间周期序列，考虑到 （4） 也可以展开为傅立叶级数 （5） 其中傅立叶系数 （6） 当整数k取值变化时，上式是以N为周期的序列。可以看出式（5）的级数也是以N为周期，所以求和只限于N项。 科学上把 （7） 定义为离散时间周期序列的离散傅立叶级数系数（DFS），记为 （8） 其逆变换即 （9） 上述两式构成一个离散周期信号的离散傅立叶级数对。它们都是以N为周期的离散周期序列。注意：离散傅立叶级数（DFS）由于是有限项求和，所以总是收敛的。 三、离散时间周期序列的频谱 由式DFS定义式（8）和离散时间周期序列的表达式（2）可知，一个离散时间周期序列可以分解为有限个（N个）无穷序列之和，每个序列都是无穷多个谐波分量，频率间隔为Ω1＝2π/N，第k次谐波数字角频率为Ωk＝kΩ1=k2π/N 。因为整数k和n都是以N为周期的，离散时间周期序列的频谱也是频域离散的周期序列。 例：周期为N=10的单位矩形周期序列如下图： 图2 单位矩形周期序列（N=10） 其离散傅立叶级数（DFS）为 （10） 其幅度频谱为 （11） 频谱图如下图： 图3 单位矩形周期序列（N=10）的频谱 可见，离散时间周期序列的频谱也是频域的离散周期序列。离散傅立叶级数（DFS）对周期序列实现了时域离散和频域离散的对应关系。 四、DFS的局限性 在离散傅里叶级数（DFS）中，离散时间周期序列在时间n 上是离散的，在频率Ω上也是离散的，且频谱是Ω的周期函数，理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。 但由于其在时域和频域都是周期序列，所以都是无限长序列。无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。因此，还有必要对有限长序列研究其时域离散和频域离散的对应关系。详情且听周法哲下回分解。