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具有反馈控制模型全局吸引和振动 　　摘要：文章研究了一类时滞微分方程，得到了方程正周期解存在、全局吸引和振动的充分条件。 　　关键词：正周期解；时滞；全局吸引；振动 　　 　　在生态系统中时变环境是普遍存在的，特别地，周期变化的环境（例如，季节变迁，食物供给等）是很常见的。在这些文献的启发下，我们考虑系统： 　　 =r（t）n（t）[1- -c（t）u（t）] ＝-a（t）u（t-nω）+b（t）n（t-mω）① 　　其中r（t）、K（t）、a（t）、b（t）、c（t）都是正ω周期函数，m、n是正整数，初始条件为： 　　n（t）=??（t），-μω≤t≤0，n（0）＞0u（t）=?渍（t），-μω≤t≤0，n（0）＞0② 　　其中μ＝min{m，n}，（??，?渍）∈C（[-μω，0]，R+2）。对正ω周期函数f引入如下记号： 　　fM= f（t），fL＝ f（t） 　　 　　一、无时滞情况下的全局吸引 　　 　　考虑无时滞周期方程①和初始条件②，则存在??一正解（n（t），u（t））。下证方程①的解有界。 　　定理1假设rL- ＞0，则存在T＞0，当t＞T时方程①的解（n（t），u（t））满足： 　　0＜n1≤n（t）≤n2，0＜u1≤u（t）≤u2。 　　其中 　　n1＝ rL- ， 　　n2＝ ， 　　u1= rL- ， 　　u2＝ ， 　　证明：由解的正性和系统①，我们有： 　　 ≤n（t）rM- n（t） 　　由比较原理可得，存在T1＞0有n（t）≤ ＝n2。 　　再由系统①，我们有： 　　 ≤-aLu（t）+bMn2 　　同样由比较原理可得，存在T2＞0有u（t）≤ n2=u2。 　　同理可得，存在T3＞0有n（t）≥n1存在T4＞0有u（t）≥u1，故存在T＝max{T1，T2，T3，T4}＞0有n1≤n（t）≤n2，u1≤u（t）≤u2。 　　定理2假设定理1成立，且： 　　-b（t）＞0， 　　 a（t）-r（t）c（t）＞0， 　　则系统①存在唯一的正ω周期解（n（t），u（t））且全局吸引。 　　证明：设区域D＝{（n（t），u（t））：n1≤n（t）≤n2，u1≤u（t）≤u2}，取（n0，u0）∈D，令nω＝n（ω，0，n0，u0），uw＝u（ω，0，n0，u0）。定义映射F：D→D，?坌（n0，u0）∈D，F[（n0，u0）]＝[nω，uω]（其中[]表转置），因为解（n（t，0，n0，u0），u（t，0，n0，u0））连续依赖于初值（n0，u0），所以F是连续的且映射区域D到自己，由Brower不动点定理可得，存在一个不动点（n0，u0），由r（t）、K（t）、a（t）、b（t）、c（t）的周期性可得，方程①过初值（0，n0，u0）的唯一解（n（t），u（t））＝（n（t，0，n0，u0），u（t，0，n0，u0））是周期为ω的正周期解。 　　下证正ω周期解的唯一性与全局吸引。 　　由全局吸引可知唯一性成立，因此下面只需证明全局吸引。 　　构造Lyapunov泛函： 　　V（t）=|lnn（t）-lnn（t）|+|u（t）-u（t）| 　　将V（t）沿系统①对t求右上导数得： 　　D+V（t）≤-αn（t）- +u（t）- 　　其中a=min{-b（t），[a（t）-r（t）c（t）]}＞0因此n（t）- ，u（t）- 在[0，+∞）上可积且导函数有界，故由Barbalat引理知， n（t）- ＝0， u（t）- ＝0。 　　 　　二、时滞情况下的振动性 　　 　　考虑周期时滞微分方程①，可得无时滞微分方程①的唯一正ω周期解（n（t），u（t））也是周期时滞微分方程①的正ω周期解。 　　反之亦然。因此周期时滞微分方程①存在一个正ω周期解（n（t），u（t））。 　　定义3称（n（t），u（t））关于（n（t），u（t））非振动，若n（t）-n（t）和u（t）-u（t）都无任意大零点；否则称振动。 　　定理3假设定理2成立，且 　　（H1）a（s）ds＞ 或者a（s）ds＞1 　　（H2）?坌ε∈[0，1)使得 　　（1-ε） ds＞ 　　或者 　　（1-ε） ds＞1 　　成立，则方程①的每个解（n（t），u（t））关于正ω周期解（n（t），u（t））振动。 　　证明：假设存在解（n（t），u（t））关于（n（t），u（t））非振动，设n（t）＝n（t）ex(t)，u（t）＝u（t）+y（t）， 　　代入方程①可得： 　　 =r（t） 1-ex(t-mω)-c（t）y（t） ＝-a（t）y（t-nω）+b（t） ex(t-mω)-1③ 　　下面分四种情况讨论。 　　第一，若最终x（t