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分层抽样中样本量分配方法研究 　　[摘要]分层随机抽样是近代统计调查方法中最重要、最常用的方法之一。在分层抽样中，样本量在各层的不同分配方法会对估计量的精度产生一定的影响。本文立足于分层随机抽样在实践中的重要性以及样本容量分配的重要意义，从分析影响样本容量的因素入手，讨论实践中分层抽样样本量分配的方法体系并进行比较评价，得出各种方法的适用性。 　　[关键词]分层随机抽样；样本容量；分配 　　[中图分类号]F224.9 　　[文献标识码]A 　　[文章编号]1008―2670(2007)04―0049―05 　　 　　在市场调研实践中，分层随机抽样(简称分层抽样)以其效率相对高、费用相对少、精度高、方法灵活的优点被广泛采用，成为近代统计调查方法中最重要、最常用的方法之一。在分层抽样中，总体经过分层，各层的单元数、变异程度及调查条件都有可能不同。在样本容量n一定的条件下，就需要考虑如何将其分配至各层中去的问题。样本量在各层中的分配方法不同会对估计量的精度产生一定的影响，并进而影响分析者的预测和决策。因此，样本容量的分配是关系到调研精确度和市场研究公司效益的一项重要工作，从理论上探讨分层抽样中样本容量的分配方法就变得尤为重要。 　　 　　一、问题的提出 　　 　　(一)分层抽样中层样本量配置的重要性 　　分层抽样曾被统计学家马哈拉诺比斯称为抽样调查中“很有名气”和“运用极广泛”的一种抽样技术，它按照层内差异尽可能小，层间差异尽可能大的原则，将总体区分为不同的层(也称为子总体)，再分别独立地从各层内抽取一定的样本单元进行调查并推断。它除了比纯随机抽样有更高的抽样精度(按照谢邦昌教授的研究，分层抽样的误差一般只有纯随机抽样的1／10)外，还可以把各层看作独立的总体，推断时不仅可以估计总体，还可以推断各层；同时还可以对不同的层采用不同的样本抽选和估计方法，从而大大提高了方法的灵活性。 　　分层抽样中，解决层样本容量的配置问题，既是实施分层抽样调查的前提，也是确保抽样精度和效率的关键因素。样本容量分配可以看作是连续给任一层减少同时给另一层增加一个样本单元会使层估计量的方差和总体相应样本的方差减少的一种手段。当给任何一层增加一个样本单元使总体有关估计量的方差减少程度相同时，样本容量分配是最优的。这相当于给任何一层每增加一个样本单元所取得的边际效用(即减少的抽样误差)相等。在样本容量一定的前提下，在层样本量分配的各种方法中，最优分配就是使总体特定值的样本估计量的方差最小的分配。分配的情况直接影响到抽样调查的精度。因此分层抽样中考虑各层样本量的分配方法非常重要。 　　 　　(二)国内外研究综述 　　关于这一问题的研究由来已久。早在20世纪50年代，W?G?科克伦就在他的著作《抽样技术》中介绍了分层随机抽样中样本容量的最优分配法，并列举了“当调查项目超过一个时，样本容量在各层之间的分配问题”；1985年，L?Kish出版的《抽样调查》一书中也介绍了分层抽样中的“元素的按比例抽样”和“不按比例抽样或最优分配”，但是这些内容都不够系统；上世纪90年代末至本世纪初，中国的统计专家们也陆续出版了一些关于抽样技术的教材或专著，比如冯士雍教授的《抽样调查理论与方法》、金勇进教授的《抽样技术》、杜子芳教授的《抽样技术及其应用》等都非常经典，其中都有对国外分层抽样中层样本量分配方法的系统阐述。各期刊中也有相关的文献，但是不多，对方法的适用性和对比分析不够充分。 　　本文立足于分层随机抽样的重要性以及样本容量分配的重要意义，从分析影响样本容量的因素人手，讨论实践中分层抽样样本量分配的方法体系并进行比较评价，得出各种方法的适用性，期望对调查实践具有一定的借鉴价值。 　　 　　二、样本容量分配的影响因素分析 　　 　　抽样实践中，一般按照最优设计理论来设计抽样方案，分层抽样中样本容量分配方案的设计也不例外。所谓最优设计，即在费用一定的条件下，选择使精度达到最高(即方差最小)的设计；或是在满足一定精度要求下，选择尽可能使费用节省的方案。结合分层随机抽样中总体均值估计量的方差的表达式(式(1))，可以分析出最优设计原则下影响样本容量分配的几个主要因素。 　　 　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文” 　　其中，yst为总体均值的分层随机抽样估计量，Ⅳ为总体单元总数，nh为第h层的样本容量。 　　1、层的大小，一般用各层单元数在总体单元数中的比重表示，即层权Wh。层权体现了总体的内部构成，其大小直观上体现了各层在总体中的地位高低。层权越大说明该层在总体中占据的地位越重要，则在样本容量一定的条件下，提高样本对总体的代表性，就应在该层多抽样本单元。反之亦然。 　　2、各层的变异程度。各层的变异程