三角学的历史及其对任意角三角函数的教学启示 西华师范大学数学与信息学院.pptVIP

三角学的历史及其对任意角三角函数的教学启示 西华师范大学数学与信息学院 杨孝斌 Email: xbyang79@163.com 0. 引言：开展教育取向的数学史研究 数学史家李文林先生认为，数学史的研究具有三重目的：一是历史的目的，即恢复历史的本来面目；二是数学的目的，即古为今用，为现实的数学研究与自主创新提供历史借鉴；三是教育的目的，即在数学教学中利用数学史，这在当前已成为一种国际现象。 数学教师要重视数学史在数学教学中的意义和作用，要学习与教学内容有关的数学史实，并在数学教学中展现数学知识的发现历程，让学生了解数学知识的来龙去脉。 展现数学知识的发现过程，不是简单叙述数学史实，重复数学家的“原发现过程”。而是需要教师开展教育取向的数学史研究，将数学知识的“学术形态”转化为“教育形态”，从中获得对数学教学的启示，引导学生重走数学发现之路。 所谓教育取向的数学史研究，就是从课程与教学的角度出发，对数学史的相关内容进行教学法加工和方法论重建，以实现数学史研究的教育目的。其主要方法是通过对数学史的压缩、整合、删繁就简、提炼数学思想方法等，并在此基础上结合教学内容进行基于数学史和数学思想方法的教学设计。 教育取向的数学史研究，其最终目的是利用知识的发生学原理，在数学教学中借鉴数学家研究数学的经验和数学知识发生发展的理论。然而，数学家研究数学的经验、数学知识发生发展的理论对数学教学的指导也是有限的，因为学校数学和科学数学是两种不同形态的数学，而且学生也无法在有限的时间内重复数学家们所走过的漫长道路。 那么，数学教学如何借鉴数学家研究数学的经验呢？ 以下以“三角学发展简史”与“任意角的三角函数的教学”为例，探讨如何在数学教学设计中借鉴数学家研究数学的经验。 1. 三角学发展简史 (1) 三角学概述 三角学这门学科是从确定平面三角形和球面三角形的边和角的关系开始的，其最初的研究目的是为了改善天文学中的计算。古代三角学的萌芽可以说是源出于古希腊哲学家泰利斯(Thales，约前624—前547)的相似理论。古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，约前190年-前125年)，曾著有三角学12卷，可以认为是古代三角学的创始人。 到15世纪，德国的雷格蒙塔努斯(J．Regiomontanus，1436-1476)的《论三角》一书的出版，才标志古代三角学正式成为独立的学科。这本书中不仅有很精密的正弦表、余弦表等，而且给出了现代三角学的雏形。16世纪法国数学家韦达(F．Viete，1540-1603)则更进一步将三角学系统化，他已经对解直角三角形、斜三角形等作出了阐述，并且还有正切定理以及和差化积公式等。 直到18世纪瑞士数学家欧拉(L.Euler，1707-1783)才研究了三角函数。这使三角学从原先静态研究三角形的解法中解脱出来，成为反映现实世界中某些运动和变化的一门具有现代数学特征的学科。 2. 三角学的历史对任意角三角函数教学的启示 概括地说，人教A版采用的是“单位圆定义法”，江苏版采用的是“终边坐标法”。是否借助单位圆定义任意角的三角函数是二者的最大不同，江苏版是在“终边坐标法”定义之后给出了“单位圆定义法”。 根据上述三角学简史的叙述，可以得出结论：采用“终边坐标法”定义任意角的角函数——允许圆的半径任意长，而非单位长，其实质是采用比值定义——符合三角函数形成与发展的历史，而“单位圆定义法”只是为了简化定义和给出三角函数的几何表示，不利于学生把握任意角三角函数的定义的本质。 很显然，“单位圆定义法”只是“终边坐标法”的特例，学生只要掌握了“终边坐标法”定义的一般结论，当r=1时学生自然可以得到“单位圆定义法”的结论。 同时，“终边坐标法”更利于初、高中三角函数知识的衔接，有利于开展由旧知引出新知的教学。此外，从整体上考查三角函数单元的教学内容可以发现，引进任意角三角函数的单位圆定义，其目的是为了给三角函数诱导公式的讨论带来方便。 因此，从知识发生发展历史的视角考察，在任意角三角函数的教学中不宜过早地引入单位圆定义，而是应该在学生掌握了任意角三角函数的终边坐标定义之后，再借助“单位圆定义法”帮助学生理解“终边坐标法”。这样做，不仅符合数学知识的发生发展历程，而且更便于学生认识到三角函数的数学本质。如果在教学中先给出任意角三角函数的“单位圆定义”，或者同时给出这二者，其合理性都是有待商榷的。 3. 揭示任意角三角函数定义的本质 首先，从内容上分析。严格意义上讲，初中没有三角函数，只有三角比，即锐角的正弦、余弦和正切等。这种三角比是用锐角所在的直角三角形的边的比定义的，虽然比值是数，但是初中还没有引入弧度制，而是角度值，此时的三角比是角的集合与数集之间的映射，不是函数。因此，这