全微分方向导数与梯度 50p.pptVIP

方向导数的定义 设函数 在 内有定义. 若点 沿射线 l 趋于 时, 极限 l 方向的方向导数. 记为 存在, 则称该极限值为函数 在点 处沿 比较方向导数与偏导数的概念 在方向导数中, 分母 在偏导数中, 分母 可正、可负. 即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时 , ,方向导数与偏导数也是两个不同的概念. 单向 双向 利用直线方程可将方向导数的定义表示为: 射线 l 的方程: 则 故 怎么计算方向导数？ 方向导数导计算公式 若函数 在点 处可微, 则函数 在点 处沿任一方向 的方向导数存在, 且 其中, 各偏导数均为在点 处的值. 定理 例4 例5 例6 由点 到坐标原点的距离定 义的函数 在坐标原点处 向导数值都等于 1: 的两个偏导数均不存在, 但它在该点 沿任何方向的方向导数均存在, 且方 此例说明: 1. 方向导数存在时, 偏导数不一定存在. 2.可微是方向导数存在的充分条件, 而不是必要条件. 只与函数在点 X0 处的偏导数有关. 1 一个问题： 该问题仅在 不同时为零才有意义. 在给定点 沿什么方向增加得最快? 可微函数 现在正式给出 的定义 grad u 且 四. 梯度 定义 设 则称向量 为函数 在点 处的梯度, 记为 或 梯度的方向与取得最大方向导数值 的方向一致, 而梯度的模就是函数在该 点的方向导数的最大值. 以上结论可以推广到二元和三元以 上的函数中. 在 中 在 中 可统一表示为 例7 * 第四节 全微分 方向导数 梯度 我们以二元函数为主, 进行讲解, 所得结论可容易地推广至三元和三元以上的函数中. 一. 全微分 回忆一元函数的微分 可微 可导 运用多元函数的全增量概念, 将一元函数的微分概念推广到多元 函数中. 一元函数的增量 多元函数的全增量 回忆一元微分的几何意义 y D y d 一元: 用切线上的增量近似曲线上的增量. 多元: 用切平面上的增量近似曲面上的增量. 应用 的某一个 线性函数表示二元函数的全增量 二元函数全微分的定义 时, 若函数在点 X0 处的全增量可 则称函数在点 X0 处可微, 设函数 在点 的某一邻域 称为函数在点 X0 处的全微分, 其中, a , b 是与DX 内有定义, 当 获得增量 且 表示为 0 有关的常数. 无关,仅与 X 全微分概念的极限形式 其中 如果函数 在区域中的 每一点均可微, 则称函数在区域 ? 上可微 . 函数在区域上的可微性 可微 连续 可导 ? ? ? 在多元函数中, 三者的关系如何？ 可微： 连续： 可微与连续的关系 (可微的必要条件) 可微与连续的关系 (可微的必要条件) 函数 在点 X0 处可微, 则必在点 X0 处连续 . 可微 连续 可导 ? 在多元函数中, 可微 连续 可微与可导的关系 (可微的必要条件) 定理 若 在点 处可微, 可微： 可微与可导的关系 (可微的必要条件) 定理 则其两个偏导数 均存在, 且 若 在点 处可微, 证 若函数可微, 则 即 同理, 取 可微 连续 可导 在多元函数中, 可微 可偏导 可微 连续 可导 在多元函数中, 可微 可偏导 在多元函数中, 可偏导 可微 ? 函数 在点(0, 0)处连续, 且有有界的偏导数, 但不可微. 例1 该例留给学生课后研讨 参考书：《高等数学中的反例》 朱 勇等编 华中工学院出版社 1986年 p 120~130 逆命题? 可 微 连续 可导 连 续 可 导 连续可导 Ok 定理 设 在 内有定义, 可偏导. 若 , 在点 处连续, 则函数 f ( X ) 在点 X0 处可微. 二元函数可微的充分条件 证 要证明函数 f ( X ) 在点 X0 处可微, 即要证 利用微分中值定理 由偏导数的连续性 故 同理 其中 为该极限过程中的无穷小量. 从而, 函数的全增量 又由夹逼定理 故 即函数 f ( X ) 在点 X0 处可微. 如果函数 在区域 中 具有连续偏导数 和 , 则称函数 为区域 中的 类函数 , 记为 当不强调区域时, 记为 二. 全微分的计算 全 微 分 的 计 算 全 微 分 的 计 算 例2 例3 若可微, 求其全微分. 例4. 求 u = xyz 的全微分. 回头看全微分公式 这与物理中的叠加原理相符. 三. 方向导数 回忆一元函数的单侧导数: A B C x O y z . P0 P l .