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2. 等价表示具有相同的特征标 因为 可得 两个矩阵的乘积的迹与这两个矩阵相乘的次序无关，因此 3. 等价表示的与同一对称操作相对应的矩阵的行列式相等 4. 有限群G的每一个表示都有与其等价的U表示 四、可约表示与不可约表示 ? 2016 东北师大化学学院 功能材料化学研究所 * * * * * * ? 2016 东北师范大学化学学院功能材料化学研究所 化学中的数学方法 2016年3月 仇永清 第四章 群表示理论 一、群的表示 对称操作可用矩阵表示，上述四个对称操作相应的矩阵是 这四个矩阵也构成一个群，群C2v与四个矩阵构成的群是同构的，群C2v也与这个群同态。 任何群都同态与一个由方阵所构成的群。群的这种同态对应称为群的表示。 如果有一种对应关系Γ，使得群G的每一个元素g都有一个唯一确定的n阶非奇异方阵Γ(g)与之对应，且对于G中任何两个元素g1和g2的乘积g1g2所对应的方阵Γ(g1g2)，等于两个元素对应的方阵Γ(g1)和Γ(g2)的乘积Γ(g1)Γ(g2) ，即若 则 就说对应关系Γ是群G的一个表示。非奇异方阵Γ(g)的阶称此表示的维数。 建立坐标系：令三重轴与z轴重合，对称面σ1与xz平面重合，通过b与oz轴的平面为σ2 ，通过c与oz轴的平面为σ3。 按这一坐标系，乘法表是 这些矩阵构成C3v群的一个三维表示 是否存在其他表示？存在，群的表示不是唯一的 C2v 群同态与群{1，-1}，这里1和-1可以认为是两个一行一 列的矩阵，令对应 则可得到C2v群的另一个表示 类似可得C3v群的另一个表示 若进一步令所有操作都与1对应，又可得C2v 和C3v群的表示 事实上，对于任意群G，若令其每一个元素g都与1对应 这就是群G的一个表示。称为单位表示或全对称表示。 若群G的表示Γi的所有矩阵 Γi(R)都是U矩阵，则称表示Γi为U表示。 二、基 空间一点P的坐标(x,y,z)在群的对称操作R作用下变为(x?,y?,z?)，新坐标等于旧坐标的线性组合 写成矩阵形式 z a y a x a x 13 12 11 + + = z a y a x a y 23 22 21 + + = z a y a x a z 33 32 31 + + = 其系数所组成的矩阵就是这一对称操作对应的矩阵，所有这些矩阵组成群的一个表示。 坐标(x, y, z)在对称操作作用下变为(x?, y?, z?), 因此函数也变成了 ………… 一般情况下新函数不一定能写成旧函数的线性组合，做特殊选择，使新函数写成旧函数的线性组合 用矩阵表示为 所有操作R的变换矩阵 也组成群的一个表示。 只要证明若有 必有 证明同前面对于坐标变换的证明相同。 对不同的函数组进行变换可得到不同的表示。 把对实施变换的函数组 ， … 称为这一表示的基函数，简称基。 前面C3v群的三维表示是以x,y,z为基的表示 并不是任意函数经过对称变换后，都可变成前函数的线性组合。即并不是任意函数都可作为群表示的基。 例：讨论xz和yz两个函数能否作为C3v群的基函数，若能，求出一这两个函数为基的群的表示。 (1) 恒等操作E，在恒等操作下 因此 用矩阵表示 所以 (2) C3：在C3作用下 因此 矩阵表示 所以 (3) C32：在C32作用下 因此 矩阵表示 所以 (4) ：在 作用下 因此 即 所以 (5) ：在 作用下 因此 即 所以 (6) ：在 作用下 因此 即 所以 上述证明了xz和yz可以作为C3v群的基，且得到了C3v群以(xz, yz)为基的一个二维表示。 若以(x2-y2, xy)为基，可得C3v群的另一个二维表示： 三、等价表示 设有一组矩阵 ， … 构成群G的一个表示，对 于任意其阶数等于表示的维数的非奇异方阵S，可得到一组新 的矩阵 可以证明，对应 也是群G的一个表