高等数学-第七版-课件-9-5 微积分学基本理论_图文.ppt

注 由推广的积分第一中值定理,可得拉格朗日余项： 泰勒公式的积分型余项 不变号 如果直接用积分第一中值定理, 可得 泰勒公式的积分型余项 若记 此式称为泰勒公式的柯西型余项. (2) 给出正确证明 . 要求: (1) 指出其中三处错误; 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 §5 微积分学基本理论 变限积分与原函数的存在性 换元积分法与分部积分法 泰勒公式的积分型余项 复习思考题 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 复习思考题 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 一、变限积分与原函数的存在性 本节将介绍微积分学基本定理, 并用以证明连续函数的原函数的存在性. 在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法. §5 微积分学基本定理 数学分析 第九章 定积分 三、泰勒公式的积分型余项 二、换元积分法与分部积分法 *点击以上标题可直接前往对应内容 变限积分与原函数的存在性 为变下限的定积分. 为变上限的定积分; 后退 前进 目录 退出 变限积分与原函数的存在性 于是 由 x 的任意性, f 在 [ a, b ] 上连续. 变限积分与原函数的存在性 定理9.9（变上限定积分的连续性） 证 则 定理9.10（微积分学基本定理） 若 f 在 [a, b] 上连续, 上处处可导,且 由于 f 在 x 处连续，因此 证 变限积分与原函数的存在性 注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似 续函数必存在原函数”这个重要结论. 乎不相干的概念之间的内在联系, 也证明了“连 变限积分与原函数的存在性 注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数, 所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为 解： 由 与 复合而成. 例1. 求下列积分上限和积分下限函数的导数： 变限积分与原函数的存在性 例2. 解: 原式 求 变限积分与原函数的存在性 用罗比达法则 定理9.11（积分第二中值定理） 设 f 在[a, b]上可积. (i) 若函数 g 在 [a, b] 上单调减,且 则存 变限积分与原函数的存在性 (ii) 若函数 g 在 [a, b] 上单调增, 且 则存 证 这里只证 (i), 类似可证 (ii). (1) 对任意分割 T： 证明分以下五步: 变限积分与原函数的存在性 变限积分与原函数的存在性 变限积分与原函数的存在性 (4) 综合 (2), (3), 得到 变限积分与原函数的存在性 即 推论 变限积分与原函数的存在性 证 若 g 为单调递减函数， 则 h 非负、单调减, 由定理 9.11(i)， 即得 变限积分与原函数的存在性 因此 定理9.12（定积分换元积分法） 换元积分法与分部积分法 则 证 的一个原函数. 因此 换元积分法与分部积分法 注 与不定积分不同之处: 例3 解 （不变元,不变限） 元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限. 保留原积分变量，因此不必改变积分限; 用原变量代回. 定积分换元后不一定要 一般说来，用第一换元积分法时， 用第二换 换元积分法与分部积分法 例4 解 （变元,变限） 换元积分法与分部积分法 例5 解 （必须注意偶次根式的非负性） 换元积分法与分部积分法 例6 解 换元积分法与分部积分法 因此, 换元积分法与分部积分法 抵消 定理9.13（定积分分部积分法） 若 u(x),v(x)为 [a, b] 上的连续可微函数,则有定 积分的分部积分公式： 证 因为 uv 是 在 [a, b] 上的一个原函数, 移项后则得 所以 换元积分法与分部积分法 例7 解 换元积分法与分部积分法 例8 解 于是 换元积分法与分部积分法 由于 换元积分法与分部积分法 所以 同理 换元积分法与分部积分法 由此可得沃利斯（Wallis）公式： 换元积分法与分部积分法 若 u(x), v(x) 在 [a, b] 上有 (n+1) 阶连续导函数, 则 泰勒公式的积分型余项 由此可得以下带积分型余项的泰勒公式： 泰勒公式的积分型余项 用分部积分公式 n 次，可得 则 则 证 泰勒公式的积分型余项 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 §5 微积分学基本理论 变限积分与原函数的存在性 换元积分法与分部积分法 泰勒公式的积分型余项 复习思考题 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 复习思考题 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社