菲菲 数学正方形菱形.doc

1.（2012湖北襄阳，23，7分）如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形； （2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积． 【解析】（1）通过证明△DEC≌△AEB，得AB＝CD．（2）运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”易发现四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，从而有AB∥DE，然后结合菱形的性质，发现AB需与AC垂直，接着发现△ABE是等边三角形即可解决问题． 【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DEC＝∠EDA，∠BEA＝∠EAD． 又∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA． ∴∠DEC＝∠AEB． 又∵EB＝EC，∴△DEC≌△AEB． ∴AB＝CD．∴梯形ABCD是等腰梯形． （2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形． 证明：∵AD∥BC，BE＝EC＝AD， ∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形． ∴AB＝ED． ∵AB⊥AC，∴AE＝BE＝EC． ∴四边形AECD是菱形． 过A作AG⊥BE于点G，∵AE＝BE＝AB＝2， ∴△ABE是等边三角形，∠AEB＝60°．∴AG＝． ∴S菱形AECD＝ECAG＝2×＝． 【点评】第（1）问简单，第（2）问属于条件开放探究性问题，解答时，可以“执果索因”，从题目的结论出发逆向追索，再通过综合分析推理而获得结果． (2012重庆，24，10分)已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2。 (1）若CE=1，求BC的长；(2）求证AM=DF+ME。 解析：延长DF,BA交于G，可证△CEM≌△CFM, △CDF≌△BGF,通过线段的简单运算，即可求得。 答案：（1）∵四边形ABCD是菱形∴CB=CD,AB∥CD∴∠1=∠ACD ,∵∠1=∠2 ∴∠2=∠ACD ∴MC=MD ∵ME⊥CD ∴CD=2CE=2 ∴BC=CD=2 (2) 延长DF,BA交于G，∵四边形ABCD是菱形∴∠BCA=∠DCA , ∵BC=2CF,CD=2CE ∴CE=CF ∵CM=CM∴△CEM≌△CFM, ∴ME=MF∵AB∥CD∴∠2=∠G, ∠GBF=∠BCD∵CF=BF∴△CDF≌△BGF∴DF=GF∵∠1=∠2, ∠G=∠2∴∠1=∠G∴AM=GM=MF+GF=DF+ME 点评：利用三角形全等来解决线段的有关问题是常见的思考方法，遇到中点延长一倍，是常见的辅助性做法。 （2012贵州铜仁，18，4分以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是__________． 【解析】如图∵四边形CDEF是正方形， ∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD， ∵AO⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∴∠COA+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°， ∴∠COA=∠DOB， ∵在△COA和△DOB中， ∴△COA≌△DOB， ∴OA=OB， ∵∠AOB=90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AB==OA， 要使AB最小，只要OA取最小值即可， 根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小， ∵正方形CDEF， ∴FC⊥CD，OD=OF， ∴CA=DA， ∴OA=CF=1， ∴AB=OA= 【解答】. 2012贵州贵阳，21，10分）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上. （1）求证：CE=CF； （2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长. 解析：（1）可证Rt△ABE≌Rt△ADF；（2）可得△EFC是等腰直角三角形，由等边三角形AEF的边长为2，可得EF=2，解直角三角形可得正方形ABCD的边长. 解：（1）证明：∵四边形ABCD正方形，∴∠B=∠D=90°,AB=AD. ∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF. ∴Rt△ABE≌Rt△ADF, ∴BE=DF, ∵BC=CD, ∴CE=CF. （2）在Rt△EFC中，CE=CF=2×sin45°=. 设正方形ABCD的边长为x，则x2+(x-)2=22.解得，x=（舍负），正方形ABCD的周长为4×=2+2. （2012，黔东南州，10）点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连结PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90o，得线段PE，连结BE，则∠CBE等于（ ） A、75o B、60o C、 45o D、