天津十年数列(解答版).docx

【2008天津文】（20）（本小题满分12分）在数列中，，，且（）．（Ⅰ）设（），证明是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．解：（Ⅰ）证明：由题设（），得，即，．又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）　　　　　　　　，　　　　　　　　，　　　　　　　　……　　　　　　　　，（）．将以上各式相加，得（）．所以当时，上式对显然成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．由可得，由得，　①整理得，解得或（舍去）．于是．另一方面，，　　　　　．由①可得，．所以对任意的，是与的等差中项．【2009天津文】20.（本小题满分12分）已知等差数列的公差d不为0，设（Ⅰ）若 ,求数列的通项公式；（Ⅱ）若成等比数列，求q的值。（Ⅲ）若【答案】（1）（2）（3）略【解析】（1）解：由题设，代入解得，所以（2）解：当成等比数列，所以，即，注意到，整理得（3）证明：由题设，可得，则①②①-②得，①+②得，③③式两边同乘以 q，得所以（3）证明：=因为，所以若，取i=n，若，取i满足，且，由（1）（2）及题设知，，且当时，，由，即，所以因此当时，同理可得因此综上，【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。【2010天津文】（22）（本小题满分14分）在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.（Ⅰ）证明成等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）记，证明.【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。（I）证明：由题设可知，，，，，。从而，所以，，成等比数列。（II）解：由题设可得所以.由，得，从而.所以数列的通项公式为或写为，。（III）证明：由（II）可知，，以下分两种情况进行讨论：当n为偶数时，设n=2m若，则，若，则.所以，从而当n为奇数时，设。所以，从而综合（1）和（2）可知，对任意有【2011天津文】20．(本小题满分14分) 已知数列与满足　　　，，，且．(Ⅰ) 求，的值；(Ⅱ) 设，，证明是等比数列．(Ⅲ) 设为的前项和，证明：．【解】(Ⅰ)　因为，，所以又，当时，，由，得；当时，，得； (Ⅱ) 对任意,有，　　　　　　　　　　　　　　　①　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　②②－①得　　　　　　　　　．　即　，于是　　，　　　　　　　　　所以是等比数列． (Ⅲ)解法1．，由(Ⅱ)可得当且时，　　　　　　　　．所以，对任意，．由式①得．，所以．因此，于是　．所以　　　　　　　　　　　　　　．所以，对任意，．解法2．由(Ⅱ)可得　　．则，设，则，于是，于是，因为，所以，因而．即．以下同解法1．【2012天津文】（18）（本题满分13分）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，，.(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；(Ⅱ)记；证明：【解析】(Ⅰ)设数列的公差为，数列的公比为；则得：(Ⅱ)当时，【2013天津文】(19) (本小题满分14分)已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列. [来源:](Ⅰ) 求数列的通项公式; (Ⅱ) 证明. （19）本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识. 考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分.（I）解：设等比数列的公比为q，因为, ,成等差数列，所以+=，即=，可得2，于是. 又，所以等比数列的通项公式为.（II）证明：=当n为奇数时，随的增大而减小，所以≤[来源:]当n为偶数时，随的增大而减小，所以≤故对于≤【2014天津文】（20）（本小题满分14分）已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；（Ⅱ）设，，，其中，.证明：若，则.（Ⅰ）解：当，时，，，.（Ⅱ）证明：因为，所以，所以，，.所以.【2015天津文】18.已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且,.(1)求和的通项公式；(2)设,求数列的前n项和.【答案】（I）,;（II）【解析】（I）列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项;（II）用错位相减法求和.试题解析:（I）设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为.（II）由（I）有 ,设的前n项和为 ,则两式相减得所以 .【2016天津文】(18)(本小题满分13分)已知是等比数列，前n项和为，且.(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若对任意的是和的等差中项，求数列的前