2017春人教版高中数学必修五课件12第2课时解三角形的实际应用举例高度角度问题.ppt

第2课时　 解三角形的实际应用举例 ——高度、角度问题 【题型探究】 类型一:测量高度问题 【典例1】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹 射型”气象观测仪器的垂直弹射高度,如图,在C处进行 该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100m, ∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s. A地测得该仪器在C处时俯角为15°,A地测得最高点H时 的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空 气中的传播速度为340m/s) 【解题指南】由声速可得AC和BC之间的关系,再结合已知A,B之间的距离,则可在△ABC中求解得到AC的长,进而在△ACH内由正弦定理求得CH. 【解析】由题意,设AC=x,则BC=x- ×340=x-40, 在△ABC中,由余弦定理得: BC2=BA2+AC2-2BA·AC·cos∠BAC, 即(x-40)2=1002+x2-100x, 解得x=420. 在△ACH中,AC=420,∠CAH=30°+15°=45°, ∠AHC=90°-30°=60°, 由正弦定理得: 所以CH=AC· 故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m. 【规律总结】解决测量高度问题的一般步骤 (1)根据已知条件画出示意图. (2)分析与问题有关的三角形. (3)运用正、余弦定理解相关的三角形. 在解题过程中,要综合运用立体几何与平面几何的知识,注意方程思想的运用. 【巩固训练】某人在塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40m到D处以后,望见塔在东北方向.若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔的高度. 【解析】在△BDC中,CD=40m,∠BCD=90°-60°=30°, ∠DBC=45°+90°=135°. 由正弦定理, 得 所以BD= 在Rt△ABE中,tan∠AEB= AB为定值, 故要使∠AEB最大,需要BE最小, 即BE⊥CD,这时∠AEB=30°. 在Rt△BED中,∠BDE=180°-135°-30°=15°, 所以BE=BD·sin∠BDE= 在Rt△ABE中, AB=BEtan∠AEB= 即塔的高度为 类型二:测量角度问题 【典例2】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘 正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏 西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小 时的航行速度向正东方向匀速行驶,经过t小时小艇与 轮船相遇.假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短的时间与轮船相遇,并说明理由. 【解题指南】先画出简图,再对照图形理解题意,然后确定各个角度、各条边长(边长有已知的,有用字母表示的),并尝试用正、余弦定理,函数,不等式的知识解答. 【解析】设小艇航行速度的大小是v海里/小时,如图所示,设小艇与轮船在B处相遇. 由余弦定理得: BO2=AO2+AB2-2AO·ABcosA. 所以(vt)2=400+(30t)2-2×20×30tcos(90°-30°), 即(v2-900)t2+600t-400=0(其中0v≤30), ①当0v30时,则Δ=360000+1600(v2-900) =1600(v2-675),令Δ=0, 即1600(v2-675)=0,则 当0v 时,两船不会相遇;当 ≤v30时, 此时 当 时, 令 则x∈[0,15), 当且仅当x=0,即v= 时,等号成立; 当 时,同理可得 综上可得,当 ≤v30时, ②当v=30时,可求得 综合①②可知,当v=30时,t取得最小值,且最小值是 此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20,所以可设计方案如下: 小艇的航行方向是北偏东30°,航行速度为30海里/小 时,此时小艇能以最短的时间与轮船相遇. 【延伸探究】本例中若小艇无最高航行速度限制,其他条件不变.问: (1)若希望相遇时小艇航行距离最小,则小艇航行速度为多少? (2)若保证小艇在30分钟内(含30分钟)与轮船相遇,试求小艇航行速度的最小值.