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导数压轴解题密法(精华)
导数
一、对数平均不等式：
a b
a,b a,b
已知 为两不等的正实数，我们称 为 的“对数平均数”．它与 的“几
a,b
ln a ln b
a b a b a b
何平均数 ab ”及“算术平均数 ”之间有如下不等关系： ab ．
2 ln a ln b 2
a b a a b
证明：不妨设a b 0 ．先证 ab ，即证ln ，
ln a ln b b b a
a 1
令 t(t 1) ，设f (t ) 2lnt t (t 1) ，
b t
2 1 (t 1)2
则f (t) 1 2 2 0 ，所以f (t ) 在(1,) 递减，而f (1) 0 ，因
t t t
1 a a b
此当t 1时，f (t ) 2lnt t 0 恒成立，即ln 成立．
t b b a
a
2( 1)
a b a b a b
再证 ，即证ln ，
ln a ln b 2 b a
1
b
a 2(t 1)
令 t(t 1) ，g(t) ln t (t 1) ，
b t 1
1 4 (t 1)2
g(t) (1,) g(1) 0
则g (t) 2 2 0 ，所以 在 递增，而 ，因
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