《四直角三角形的射影定理课件》高中数学人教A版2003课标版选修41几何证明选讲课件.ppt

直角三角形的射影定理禹州市第三高级中学 杨小涛  （1）点在直线上的正射影 （2）线段在直线上的正射影 定义： 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。 一条线段在直线上的正射影是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。点和线段的正射影简称为射影 1．图中有几条线段？大小关系如何？ 2．图中有几个Rt△? 3．有几对△相似？ 4.从射影角度看，它们是什么关系？ 姊妹相似：△ACD∽△CBD AD:CD=CD:BD即 母子相似： △ABC ∽△ACD , △ABC∽△CBD , 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项； 两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。 注：如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项。 比例中项又称“等比中项”或“几何中项”。（源自百度百科） 1、如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D。AD=2, DB=8, 求 CD,AC和BC的长。 2、如图，ΔABC中顶点C在AB边上的射影为D，且CD2=AD×BD 。 求证：ΔABC是直角三角形。 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理。当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理。在处理一些综合问题时，常常会与三角形的相似、圆幂定理相联系，要注意它们的综合运用。 1、一般三角形射影定理：△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 　　a=b·cosC+c·cosB， 　　b=c·cosA+a·cosC， 　c=a·cosB+b·cosA。 　　注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。 2、面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。” 　　COSθ=S射影/S原 作业：P22 1、2 * * * * 1 ● A l ● Ａ＇ ● A B M N ● ● ● Ａ＇ B＇ 探究： D C A B D C A B 解：∵∠ACB是半圆上的圆周角， ∴ ∠ACB=90o即△ABC是直角三角形。 由射影定理可得 CD2=AD·BD=2×8=16,解得CD=4 AC2=AD·AB=2×10=20,解得AC=2 BC2=BD·AB=8×10=80,解得AC=4 * * 1