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总复习(定式)
定式
一、伴随矩阵
*
A( )A
ji n n ×
A A (detA * ) −1 (A 可逆时)
* *
A A AA (det ) A E (一般情形)
, nrank A n
⎧
* ⎪
rank A 1, ⎨rank A −n 1
⎪
0, rank − 1
⎩ A n
二、A 是正交矩阵
T T −1 T
A A AA E A A
det 1 A ±
T -1 * k
A ,A ,A , A 均为正交矩阵
当B也为正交矩阵时，AB 是正交矩阵。
当 k=±1 时，kA 也是正交矩阵。
A 的列(或行)向量是两两正交的单位向量。
三、A 是实对称矩阵
T
A A
1．特征值均为实数。
2 ．不同的特征值对应的特征向量正交。
3 ．存在正交矩阵Q ,使得
⎛λ1 ⎞
⎜ ⎟
−1 T ⎜ λ2 ⎟
Q AQ Q AQ ⎜ O ⎟
⎜⎜⎝ λn ⎠⎟⎟
四、A 是正定矩阵
A T A (实对称矩阵)
存在正交矩阵Q , 使得
⎛λ1 ⎞
⎜ ⎟
−1 T ⎜ λ2 ⎟
Q AQ Q AQ ， λ 0
⎜ O ⎟ i
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