抽象代数自选题.doc

自选题目： 设是一个群，证明：（1）在中， 阶大于2的元素的个数一定是偶数； （2）在中，阶等于2的元素的个数与的阶有相反的奇偶性。 证明：6阶交换群是循环群 设，且证明。 设M，N是群的正规子群，证明： （1）； （2）是的正规子群； （3）若 设是一个素数，是的方幂阶的群，试证的非正规子群的个数一定的的倍数。 证明148阶群不是单群。 设是素数，则阶群是Abel群。 设是阶群，，为不同素数。证明：不是单群。 9、设，分别为，阶循环群，证明：. 10、若群中元素的阶为，元素的阶为，则当且时，有 ，即. 11、设群中元素的阶为，证明. 12、设，是群的两个正规子群，且二者的交为，证明：与中的元素相乘时可换. 13、设是包含在群的中心内的一个子群，证明：当是循环群时，是交换群. 14、证明：时个轮换是的一组生成元。 15、证明：同构意义下，6阶群只有与. 16、设为素数，证明：阶群为群. 17、若G是由a , b生成的群，且=e ，，证明：G为Abel群。 18、设f：G→H是群同态，若g是G的一个有限阶元。试证: f(g)的阶整除g的阶。 19、证明：任意一个群G，都不能被它的两个真子群覆盖。 20、设M?G , N?G。若M∩N={e},证明：,有 21、设是一个群，而是中任意一个固定的元素。证明：对新运算也作成一个群。 22、证明：1）在一个有限群里，阶数大于2的元素的个数一定是偶数。 2）偶数阶群中阶等于2 的元素的个数一定是奇数。 23、 证明：交换群中所有有限阶元素作成一个子群。对非交换群如何？ 24、 设分别是群的两个与阶子群，证明：若，则 25、设是群的一个子群，，证明：且。 26、证明：若群的阶子群有且只有一个，则此子群必为的正规子群。 27、或 28、 29、令G是实数对（a,b），a0的集合，在G上定义（a,b）（c,d）=(ac,ad+b)，试证G是群。 30、设G是一个群，a,bG，证明：= 31、证明：任何群都不能是两个真子群的并。 32、试证没有6阶子群。 33、设群G作用在集合上，令t表示在G上的作用下的轨道个数，对任意gG，表示在g作用下的不动点个数。试证：。 34、设是大于1的奇数，是循环群。 35、一个有限群的每个元素的阶都有限. 36、假如和是一个群的两个元，并且ab=ba，又假定，，且.证明：. 37、设是群到群的同态，证明：. 38、设是群，是交换群.是到的同态，且.证明:. 39、设是群的子集.证明：若关于的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，则. 40、设是有限群的一个子群，又，证明：若不能整除，则. 41、设是群., .且.证明：. 42、证明6阶群必存在一个3阶子群。 43、举例说明若，不一定有。 44、，证明。 45、，证明。 46、证明有限群G有唯一Sylow p-子群L的充要条件是。 47、设，，若存在，使得，则 48、设，，且，是单位元，则对任何，，有。 49、证明交换群的商群是交换群。 50、设是循环群，是与的满同态，证明也是循环群。 51、证明交换群中所有有限阶的元素构成的一个子群 52、当时，试证n-2个3轮换，，…,是的生成元。 53、设作用在集合上，对任意，若存在使得，则 54、设，其中均为素数，，。证明：是循环群。 55、设,是群，证明： 56、设m、n是大于1的奇数，是循环群，证明（m，n）=1 57、证明：有理数加群与非零有理数乘群不同构. 58、设作用在集合上，对任意，，若存在使，。换句话说，同一轨道中元素的固定子群彼此共轭。 59、设是一个素数，是的方幂阶的群。试证的非正规子群的个数一定是的倍数。 60、试证200阶群一定含有一个正规的西罗子群。 61、证明；阶群必是交换群，其中P是一个素数 62、凡200阶群都不是单群 63、指数为2的子群必是正规子群 64、设G是n阶群（P是素数），证明：若np,则G有p阶正规子群 65、设H,K是群G（未必有限）的两个p-子群。且K?G，证明；HK也是G的一个p-子群 66、若群的阶子群有且只有一个, 则此子群必为的正规子群. 67、设为群, 又, 且, 证明中任意元素都有. 68、若都是正整数且与互素，则。 69、设是群，,且，使，证明： 70、设是群,是的正规子群,,证明:对于任意的都有. 71、设和分别是阶为和的有限循环群,证明:存在到的满同态的充要条件是. 16、试求出次交代群的所有sylow子群.