教师风采大赛课题：相似三角形中等积式的证明技巧(教师版).doc

教学内容概要 证明等积式常用的方法是添平行线或寻找相似三角形，本节课主要探讨如何用相似的方法证明等积式。 一，直接寻找相似三角形 等积式转换成等比式，用三点定形法寻找三角形，证明三角形相似 如图，△ABC中，ACB=90°，D是AB的中点，过D作AB的垂线交AC于E，交BC的延长线于F，求证： 证明：△DCE与△DCF相似 二，等量代换法 等积式转换成等比式，寻找可能相似的三角形，当找不到三角形或无法证明三角形相似，需要根据已知条件找到与原比例式中某条线段相等的一条线段替换，重新寻找三角形。 如图在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF与点F，证明：BP=PEPF 联结PC，可证明PC=PB，证明△PCE与△PCF相似 三，等比代换法 当用前两种方法寻找不到可以代换的线段时，可考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，然后再用三点定形法确定三角形。 如图，△ABC中，AD、B分别是BC、AC上的高，过D作AB的垂线交AB于，交B于G，交AC延长线于H，求证： 先证明△AFD与△BFD相似，得到等积式DF2=AFBF，再证明△AFH与△BFG相似 【练习 1、如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120° 求证：（1）ABAC=ADBC （2） 证明△ABD与△ABC相似（用外角） 用AD与AE替换DE，证明△ABD与△ACE相似 2、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边CB、DC延长线上的点，且BE=CF，联结AE、FB，FB的延长线交AE于点M，求证： （1）△BEM ∽ △BFC （2） 先证明△ABE与△BCF全等，得到∠E=∠F，可证相似 用BE替换CF，证明△CBF与△BME相似 3、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC 求证：（1）AF=CE （2）BF2=EFAF 证明△ABF与△ACE全等 用（1）中结论替换AF为CE，再替换BF=AE，证明△AEF与△ACE相似 4、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE＝DC，连接AE、BD （1）求证：△AGE ≌ △DAB （2）延长BD交AE于点M，求证： SAS BG=CD=DE，证明△MED与△ADE相似 5、如图，在△ABC中，正方形EFGH内接于△ABC，点E、F在边AB上，点G、H分别在BC、AC上，且 （1）求证：∠C=90° （2）求证：AHCG=AEFB 6、如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，求证：FB 联结AF，替换FD，证明△FCA与△AFB相似 7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M、N分别在边AC、BC上，将△MCN沿直线MN折叠，点C落在AB边上的点P，过点A作AD\\BC交CP的延长线于D 求证：∠D=∠PMN （2）PA：PB=MC：CN 8、已知在△BAC中，AD是角平分线，AE是外角平分线，交BC的延长线于点E，T为DE的中点 求证CT 可证∠DAE=90°，即T是直角三角形斜边中点，可得AT=DT=TE，即证△ABT与△ACT相似 9、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，EG⊥BC，L是AF的中点，求证：DL 联结EL，ED，将CD替换成DE，证明△DEG与△DEL相似 6