数列通项专题(学生版).docx

数列通项专题【知识要点】一、等差等比公式数列的通项公式与前n项的和的关系( 数列的前n项的和为).等差数列的定义：（，是常数）等差数列的中项：等差数列的通项公式；推广：5.等差数列其前n项和公式为.6.等差等比数列的常用性质：（1）数列是等差数列，若，则；（2）数列是等差数列，当项数为，则； 当项数为，则.7.等比数列的定义：（，是常数）8.等比数列的中项：()且9.等比数列的通项公式通项公式：，为首项，为公比．；推广：10.等比数列其前n项和公式为.11.等比数列的常用性质：（1）数列是等比数列，若，则；（2）若，，则构成新的等比数列，公比为.（3）若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为. 若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为.二、数列求通项方法技巧1. 公式法：若是等差数列，则通项若是等比数列，则通项注意：利用公式法必须先定性，确定是等差还是等比，再设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。2.已知求： 解题步骤：（四步曲）适用与型第一步 ：当时……….第二步：当时，=第三步：判断a1 是否符合上式第四步：下结论点评：当只对当且为正整数时成立，因此由求时必须分和两种情况进行讨论．递推公式为与的关系式。（适用与)这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。4．累加法：适用与已知求利用求通项公式的方法称为累加法（可求前项和）.5．累乘法：适用与已知求利用求通项公式的方法称为累乘法6.已知与递推关系求，用构造法 （构造新的等差、等比数列）类型1 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。类型2 递推式：型解法：设，由求出，构造新等比数列类型3 型（其中均为常数，）。（或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。类型4 倒数变换：型解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。类型5 指数型递归数列型（两边取对数）解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。类型6 周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。三、数列求和方法技巧1.公式法：适用于等差与等比数列，必须记住等差等比数列前n项和公式等差前n项和公式：；等比数列前n项和公式：2.分组求和：适用与数列的通项可以拆分成两组或两组以上的特殊数列通项的和或差（等差等比）3.错位相减：适用与数列的通项可以拆分成等差数列的通项与等比数列通项的积（等差×等比）4.裂项相消：适用与数列的通项可以拆分成两项差的形式（分式型）常用的裂项公式有5.倒序相加：适用与数列的前后对应项的和为定值【例题解析】【例1】(2017年理科全国Ⅰ卷)记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）A．1B．2C．4D．8【例2】(2017年理科全国Ⅲ卷)等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为( )A． B． C．3 D．8【例3】(2017年理科北京卷)若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=___________.【例4】(2017年江苏卷)等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则=__________.【例5】(2017年理科全国Ⅱ卷)等差数列的前项和为，，，则____________．【例6】(2017年文科全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=?6．（1）求的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．【例7】(2017年文科全国Ⅱ卷)已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. （1）若，求的通项公式；（2）若，求.【例8】(2017年文科全国Ⅲ卷)设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列 的前项和.【例9】(2017年文科北京卷)已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求和：．【例10】(2017年理科天津卷)已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．【课后练习】【1】(2016年理科全国Ⅰ卷)已知等差数列前9项的和为27，，则（）（A）100 （B）99（C）98（D）97【2】(2016年理科全国Ⅰ卷)设等比数列满足满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为______【3】（2015高考新课标2理）设是数列的前n项和，且，，则________．【4】(2016年文科全国Ⅰ卷)已知是公差为3的等差数列，数列满足，.（I）求的通项公式；（II）求的前n项和.【5】（2016年理科全国Ⅱ卷)为等差数列的前n项和，且，．记