数学(工程问题)教学案一、基本知识篇.docx

数学(工程问题)教学案一、基本知识篇?在日常生活中,做某一件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量。它们之间的基本数量关系是: 工作量=工作效率×工作时间?在小学数学中,探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫作“工程问题”。举一个简单例子。?一件工作,甲做10天可完成,乙做15天可完成。问两人合作几天可以完成??这件工作看成1个整体,因此可以把工作量算作“1”。所谓工作效率,就是单位时间内完成的工作量,我们用的时间单位是“天”,1天就是一个单位,因此甲的工作效率是1/10,乙的工作效率是1/15。我们想求两人合作所需的时间,就要先求两人合作的工作效率1/10+1/15。?再根据基本数量关系式,得到:所需时间=工作量÷工作效率??=1÷(1/10+1/15)=6(天)答:两人合作需要6天。?这是工程问题中最基本的问题，后面介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的。下面我们再介绍另外两种方法 一、整数化法?为了使计算整数化(尽可能用整数进行计算),可以把工作量多设份额。还是上题,10与15的最小公倍数是30。设全部工作量为30份。那么甲每天完成3份,乙每天完成2份。两人合作所需天数是30÷(3+2)=6(天)。?实际上我们把1÷(1/10+1/15)这个算式,先用30乘一下,就都可以变成整数计算,就方便些。?二、比例法?10天和15天,体现了甲、乙两人工作效率之间的比例关系。1/10:1/15=3:2。或者说“工作量固定,工作效率与时间成反比例”。甲、乙工作效率的比是15:10=3:2。当知道了两者工作效率之比,从比例角度考虑问题,也是非常实用的。根据3:2,两人合作时,甲应完成全部工作的3÷(3+2)=3/5,所需时间是10×3/5=6(天)。 三、方程法(略)?后面我们主要用的是方程法。 四、?例题讲解?例1:一件工作,甲单独做9天可以完成,乙单独做6天可以完成。现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成。乙需要做几天才能完成全部工作??解:??(1－3×1/9)÷1/6=4(天)?答: 乙需要做4天。?例2:一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成。问这件工作由甲或乙单独做各需多少天完成？?解:?(1－6×1/30)÷40=1/50?1÷(1/50)=50(天)? 1÷(1/30－1/50)=75?(天)?答:单独完成这项工程甲需75天，乙需50天。?例3:一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成。现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天。从开始到完成共用了16天。问乙队休息了多少天？? 解:?(16－3)÷20=13/20?1－13/20=7/20??7/20÷(1÷30)=10.5(天)?16－10.5=5.5(天)? 答:乙休息了5.5天。?例4:一件工作,甲、乙两人合作36天完成,乙、丙两人合作45天完成,甲、丙两人合作要60天完成。问甲一人独做需要多少天完成?? 解:??(1/36+1/45+1/60)÷2=1/30?1÷(1/30－1/45)=90(天)?答:甲一人独做需要90天完成。?例5:一项工程,甲单独做要12小时,乙单独做需要15小时,如果按照甲、乙、甲、乙的顺序轮流完成这项工作，需要多少时间？?解:?1÷(1/12+1/15)×2=40/3(天)?答:需要40/3天。?例6:(北京市师达中学分班卷)单独干某项工程,甲队需10天完成,乙队需15天完成。甲、乙两队合干2天后,剩下的工程由乙队单独干还需多少天完成??这是一道一般的工程问题。解决工程问题时,通常把工作总量看作单位“1”,理清工作总量、工作时间和工作效率的对应关系,如果这项工作是由几个人共同完的,则要考虑几个人的工作效率和。由题中条件可知,甲队每天完成工作总量的1/10，乙队每天完成工作总量1/15。也就是说甲、乙的工作效率分别是1/10，1/15。工作总量减去甲、乙合干的工作量得到剩下的工作量,再除以乙的工作效率即可以求得乙队单独干剩下工程量需的时间。?【解析】设工作总量为单位“1”。甲、乙合干2天的工作量??2×(1/10+1/15)=1/3?剩下的工作量:???1－1/3=2/3?乙队需要的天数?:??2/3÷1/15=10(天)。?例7:(天津市四十二中招生卷)某项工程,甲单独做需36天完成,乙单独做需45天完成。如果开效」时甲、乙两队合作,中途甲队退出转做新的工程,那么工乙队又做了18天才完成任务。甲队做了多少天??此题考查利用逆向思维来解决相应的工程问题的能力。将题目的条件倒过来想,变为“乙队先做18天,后面的工作甲、乙两队合作需多少天”，这样一来,问题就简单多了。?【解析】乙队单独做18天的工作量:?