数学思想方法与文化.doc

浅谈美学因素在数学中的表现 一、数学的简洁性 （一）形式美 数学的形式美，尽管有时它们的含义更加深邃，比如整齐简练的数学方程，匀称规则的几何图形都可以看成一种形式美，这是与自然规律的外在表达有关的一种美。寻求一种最适合表现自然规律的方法是对科学理论形式美的追求。 如：三角形，尽管它有千姿百态，但人们却用（为底边长，为该边上的高）或=（为三角形半周长）去囊括了所有三角形的面积。 将连加简化为乘法，连乘简化为乘方都是为了简洁，，不仅使形式简洁，而且意义更加明确。 二项式定理显示了杨辉三角的形式美。 利用对数和根号表示整数，比如= 任何可积函数均可以表示成三角级数（傅立叶级数）其中.=；=；(n=1,2,Λ) （二）符号美 数学符号的使用是数学简洁性的具体实施方法，代数学的创立决不仅仅是发展了算数，还展现了数学中数量关系之间的联系。数学史家宣称：“一种合适的符号要比一种不良的符号更能反映真理。” 数学有很多符号有独特的含义，使用它们不仅方便而且简洁。比如“！n!=n×(n-1)×A×2×1；这种符号的进一步延伸推广便是“∏”，，与之相应的还有求和“∑”，含义是：在高等数学中，求和概念的推广——函数求积中的积分符号“∫”似乎是“∑”号或“S”符号的拉伸。 随着数学的发展，随着人们对数学认识的深化，用原有符号去表示新的概念，有时竟会感到无能为力，这需要创新。如：圆周率（圆的周长与直径的比）是一个常熟，但它又是无限不循环小数，1737年欧拉首先倡导用希文来表示它，且通用于全世界；用表示特殊的无理常数（也是超越数）——欧拉常数：=2.7182818284 59045Λ的也是欧拉。 我们知道要具体写出圆周率或欧拉常数根本不可能，（它们无限且循环）然而用数学符号有时却可精确地表示它们。 （三）抽象美 数学的简洁性在很大程度上是源自数学的抽象性，换句话说：数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来，而对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时，抽象是必不可少的。 如：微积分的创始人牛顿和莱布尼兹分别从力学和几何学不同角度引入建立同一概念，创立同一学科——微分学；他们分别从“反运算”和“微分求和”不同角度建立另一门学科——积分学，这也使微分、积分成为一个不可分离的整体学科。 数学表现手法上的抽象——推理的抽象的情况也很多，如，我们在“微积分”中学过一些很“怪”的函数，它们即使用数学语言叙述也不很方便，但人们却可以找到它的函数表达式。比如Dirichlet函数：=，如图，它的函数表达式可用下面极限形式给出：.。 当然，我们还能在数学中找出许多简洁美的例子来，如，对数运算性质，可视为是出于对运算的简洁美的追求所得的结果。又如，二进制的出现，就是从逻辑关系的简洁性所引出的结果，而最终它引导了计算数学的革命，并为数学的发展开创了一个新的领域。 二、数学美的和和谐统一性 （一）对称美 对称通常指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应的关系。“对称”在艺术、自然界、科学上的例子是屡见不鲜的，自然界的对称可以从亚原子的微粒子的结构到整个宇宙结构的每一尺度上找到，从建造物外形到日常生活用品，从动植物外貌到生物有机体的构造，从化合物的组成到分子晶体的排布……其中皆有对称。无论是北京天安门城楼还是国外的宫殿、教堂、剧院，无论是现成的建筑还是民居、民宅，其中皆蕴含着对称。 “对称”在数学中的表现更为普遍。 几何上平面的情形有直线对称和点对称；空间的情形除了直线和点对称外，还有平面的对称。比如正方形和圆，既是轴对称图形又是中心对称图形；正六面体、球等都是点、线、面对称的图形。 在代数上，形如，，）的直线方程写成对称式： ，其中 为直线上的方向余弦。 从运算的关系角度看：加与减，乘幂与开方，指数与对数，微分与积分，矩阵与逆矩阵等等，这些互逆运算也可视为“对称”关系。 从函数角度看：函数与反函数也可视为一种对称。 从命题角度看：正定理与逆定理，否定理与逆否定理也存在着对称关系。 “共轭”概念也蕴含着“对称”性，或者可以看成对称概念拓广。例如：a+b与a-b(c0) 是一对共轭无理数。 数学中还有许多对称的例子，如变换与反射变换，偶函数，韦达定理的对称等。对称性又导致匀称性，如人体不仅要对称，而且要匀称，数学中的黄金分割就是匀称的例子，它引申出黄金矩阵形成为最和谐的图形之一。 （二）统一美 数学中的统一美表现在数学里的每一部分之间以及部分与整体之间的和谐统一。 从宏观上讲，数系的扩展是为了统一；算术发展成为代数，可以统一解决不便逐个计算的问题，笛卡尔发明了解析几何的动力是建立一种普遍的数学，并可以解决一切事物的的次序和度量的性质。解析几何把几何学、代数学、逻辑学统一起来。克莱因提出用群的观点统一整个数学，并通过群把几何学、代数学、分析学连接成一