数形结合思想在解析几何中的一些应用.doc

数形结合思想在解析几何中的一些应用 曾婷 在高中数学的解析几何中，方程中总是存在多元二次方，如果用纯代数的方法进行解题的话，数据的复杂程度往往会让学生不能继续完成解答，如果是在解答填空选择题的情况下，花大量时间去求解且不一定能把答案解出来，是非常吃亏的。因此，在解答解析几何题型时，培养数形结合思想尤为重要。 下面分析几类数形结合思想在实践中的一些应用。 动与定的分析。 在一些解析几何题型中，一般会出现一些类似求离心率的取值范围，像这些要求的答案是一个范围的话，那么此时数形结合时分析的“形”中一定要出现变化的量，即要得出一个不等式，比如线段在一定范围内变化；如果要求的是一个确定值，那么此时就找等量关系，列出一个等式，比如线段之间相等，在解析几何中，一些线段的长度可以用的式子表示，这样就会出现只有的一个等式，这个等式也是常用来求解析几何中的离心率的。 例1：已知椭圆中，F为右焦点，C为准线与轴的交点，A为椭圆上的点，AC的中垂线过点F，求椭圆离心率的取值范围。 分析：像这种题型，条件中没有具体的数据，且关键条件就只有AC的中垂线过点F这一个，考生一般会难以下手，或者就漫无目的地求中垂线方程，设点A坐标，列方程组等，这样不仅是个大工程的运算，而且还是难以求出最终答案的。往往越是复杂的题目，解答过程一般都是比较简单的，此时用数形结合去分析的话，解答过程就显得简单多了。现在主要对中垂线进行分析，可以发现，而为一个定值，是一个变化值，通过这个等式可以列出关于的不等式。 解：∵AC的中垂线过点F，∴ ，∵A在椭圆上运动且要使AC的中垂线过点F ∴，∴ 解不等式， 解得 得左右同除得到 ∴，综上 点评：数形结合思想主要培养学生对图像的分析处理能力，去寻找图像中的几何等量关系，比如角平分线上的点到两边的距离相等或者中垂线下的线段等量关系等等，然后根据几何等量关系转化为代数等式，这样就比传统代数解题快捷很多。 准线上几何图形的巧用，避免解题瓶颈。 解析几何图形中的准线是一个很有帮助的辅助线，利用第二定义，椭圆，双曲线或者抛物线上的点到到焦点的距离和到准线距离之比等于离心率，如果题目中出现圆锥曲线上的点到焦点连线有关的条件或者问题的话，可以利用第二定义，把线段的长度用圆锥曲线上的点到准线的距离乘以离心率就可以得到一个比较简洁的代数式，这样比用两点之间线段长求解省去了大量的代数运算。而且有时候一些线段还能与准线构成几何图形，在抛物线上出现的比较多，出现较多的就是三角形，利用相似三角形的性质，用一些已知的线段表示一些未知线段，所以在解答解析几何题时，构建几何图形也是对解题很有帮助的。 例2：已知椭圆，F为左焦点，C为椭圆外一点且，连结FC交椭圆于B点，若，试求的长及的值。 分析：这个题看似思路很明确，，把B点的坐标设出来，然后根据两点间线段长公式列出等式去解答，这样看似可以，但是解答过程数据的复杂是可想而知的，考生普遍会往这个方向去思考。分析一下C点坐标，横坐标为，刚好是准线上的一点，把准线画出来，然后构造几何关系，再利用第二定义，这样，解答过程就会显得更简洁明了。 解：作准线交轴于E点 ∵， ∴点C在准线上，作BD⊥CE于D， 由相似三角形的性质：, ，∴， 由椭圆的第二定义：，∴ , ∴ 点评：这个题让我们看到了准线的巧用，利用准线构造一定的几何关系，再结合椭圆第二定义，把一些线段的关系表示出来，其中一些线段的长度是比较好求的，然后所求线段长就可以根据线段之间的等式通过已知线段进行求解。准线在解答解析几何问题时也是很有帮助的，例如求线段之间和差的最值等，关键在于学生如何去分析准线下线段之间的关系，所以学生在平时训练的时候要重视准线中数形结合的一些解法，其实都是大相径庭的，要多练习才能更好地掌握数形结合的技巧，应对哪些题，我们可以通过数形结合去解答。 三、三角形边长不等式性质在解析几何中的应用。 例3：已知椭圆为：，F为椭圆右焦点，C为椭圆外一点且，P为椭圆上一点，当最大时，求P点坐标及最大值。 分析：这个题如果用代数方法解答的话是可以的，把P点的坐标设为，因为P在椭圆上，然后把点代入椭圆方程就可以用，再把用的函数表示，，然后求函数最值，不过这个函数带有的二次方和根式，用函数方法求最值可能计算量会很大。当我们去分析，如果能联想到三角形边长之间的性质的话，三角形两边之差小于第三边，所以只要C,P,F三点共线的话，那么最大值就出来了。 解：连结CF，CF的方程为 令与联立解得 不妨设，结合图像及三角形边长关系 ，即当P点在处时，取得最大值为 P点坐标