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文科体积专题 1. （本小题满分10分） 选修4-1：几何证明选讲 如图，是等腰三角形，。以为圆心，为半径作圆。 （1）证明：直线与相切； （2）点，在上，且，，，四点共圆，证明：。 答案详解 （1）根据题意，作，图形如图所示： 因为，，所以，所以，所以直线与圆相切于点； ?? （2）如图， 由（1）知，因为，所以点不是，，，四点所在圆的圆心，设为，，，四点所在圆的圆心，则、均在线段的中垂线上，即，又因为在圆及圆上，所以、均在线段的中垂线上，即，所以，得证。 ? ? 解析:（1）根据已知条件证明即可； （2）设出圆心，证明两圆心连线是、的公垂线即可。 （本小题满分10分） 选修4-1：几何证明选讲 如图，在正方形中，，分别在边，上（不与端点重合），且，过点作，垂足为。 （1）证明：，，，四点共圆； （2）若，为的中点，求四边形的面积。 答案详解 （1）因为，可以得到，所以，又因为，且，所以，所以，可知，即，所以，，，四点共圆； ? ?? （2）若，为的中点，所以，且在中，为的中点，所以，连接，，所以。 ? 解析: 本题主要考查相似三角形和四点共圆的证明。 （1）证明四点共圆，只要证明四点组成的四边形有一对角互补即可； （2）不规则图形的面积可以将其拆分为容易求解的几部分，并分别计算各部分的面积即可。 本小题满分12分） 如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点。 （1）证明平面； （2）求四面体的体积。 答案详解 （1）作，连接并延长交与点， 因为底面，所以，所以，所以平面，因为为的中点，，所以为中点，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，即，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，又因为，，，所以平面平面，所以平面。 （2）因为，，所以，可得，即为中边上的高，所以，而，所以底面，且，所以。 解析: 本题主要考查立体几何。 （1）做辅助线，根据题中所给关系可求得，可确定，，那么平面平面，所以平面。 （2）根据题中所给条件，证明，即可求得长，即可求得的面积，且为四棱锥的高，即可求得四棱锥的体积。 如图，四边形为菱形，为与的交点，平面。 （）证明：平面平面； （）若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积。 答案详解 （）因为四边形为菱形，所以。因为平面，所以。故平面。又平面，所以平面平面。 （）设，在菱形中，由，可得，。因为，所以在中，可得。由平面，知为直角三角形，可得。由已知得，三棱锥的体积。 故。 从而可得。所以的面积为，的面积与的面积均为。 故三棱锥的侧面积为。 解析: 本题主要考查空间中点、线、面的关系。 （）根据菱形性质和已知条件得出和后，根据线面垂直判定定理可得平面，继而得出两平面垂直。 （）设，再根据菱形中和勾股定理将各边长用表示出来，然后将各边长代入三棱锥的体积公式求出，即可求出三棱锥的侧面积。 如图,长方体中,,,,点E,F分别在,上,.过E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形()在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)()求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 答案详解 解:()交线围成的正方形EFGH如图所示;()作,垂足为M,则,,.因为EFGH为正方形,所以,于是,,.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为. 解析:()利用平面与平面平行的性质,可在图中画出这个正方形;()求出,,,即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值. 如图，和所在平面互相垂直，且，。，，分别为，，的中点。 （）求证：平面；（）求三棱锥的体积。 附：椎体的体积公式，其中为底面面积，为高。 答案详解 （）证明：由已知得，因此；又为中点，所以；同理，因此面。又，所以面。 （）在平面内，作交延长线于。由平面平面，知面。又为中点，因此到平面距离是长度的一半。在中，，所以。 解析: 本题主要考查点、直线、平面的位置关系和 空间几何体。 （）由全等三角形和等腰三角形证明垂直于面上的两相交线和，即可得出结论； （）根据中位线定理求出三棱锥的高，再由三角形的面积公式求得三棱锥的底面积，代入三棱锥的体积公式即可求出。 本题满分100分） 如图，三棱柱中，，， （）证明：； （）若，求三棱柱的体积。 答案详解 （） 取的中点，连结，，， 因为，所以。 由于，，故为等边三角形，所以。 因为，所以平面。 又平面，故。 （）由题设知与都是边长为2的等边三角形，所以。 又，则，故。 因为，所以平面，为三棱柱的高。 又的面积，故三棱柱的体积。 解析: 本题主要考查空间几何体中线线位置关系及体积求解。 （）欲证明线线垂直，可先证明线面垂直，观察题目可做辅助线证明?平面，进而证明； （）由题意知底面为等边三角形，可得底面面积。求三棱锥体积只需再求高，观察证明底面即可得出三棱锥的高，