Ch(波包和非线性)..pptVIP

* 1. 波包：不同频率简谐波的叠加，形成波包(复波)。 两列波的合成波： §6-8 波包和非线性波 一、波包与群速度 它不再是简谐波，而是更复杂的波（能传递信号）。 设有两列沿X轴正向传 播的简谐波： 令： 则合成波可写为： 上式可看成是振幅 以频率 缓慢变化着，而各质元以频率 迅速振动着的波。 频率比为 3:1 两列简谐波的合成 复波 某时刻 如果忽略两成分波的相速度的差别， 这一相速度也就等于成分波的相速度。 2. 相速度 、群速度 * 群速度是复波振幅包络线对应的相的运动速度： 振幅包络线称为波包或波群。 * 合成波的相等于常数 时，在空间 移动的速度定义为复波的相速度： 携带和传递信息的是波包的振幅，即群速度是能量的传播速度。 不同的频率或不同波长的光波具有不同的颜色， 它们有不同的相速，相应有不同的折射律，称 为色散现象。显然波的色散是由媒质特性决定。 在 和 很接近的极限情况下，群速度 代入 得： 3. 色散 相速 u 与波长 无关的，称为非色散媒质。如在媒质中传播的弹性波。 反之相速 u 与波长 有关为色散媒质。 相速 群速 通常，称 为色散关系，由它可以求出群速度 所以，随着时间的推移，波包将会逐渐 扩散开去，即波包的宽度将逐渐增大。 群速小于相速，称为正常色散； 群速大于相速，称为反常色散； 代入 得： 或 二、非线性效应对波动的影响 * 恢复力与媒质形变成正比，因此波动方程为线性， 且遵从叠加原理。同时，波的传播速度只与媒质的 性质有关，与振动状态无关。 * 当考虑非线性项，导致媒质中各点的波速与质元 的位移大小和正负有关；波形随着传播距离的增大而发生越来越大的畸变。原来的简谐波可以变成非简谐波，即高频谐波将积累增强，形成冲击波。 如： * 非线性波的另一个性质是叠加原理不成立。 * 非线性效应使媒质对低频波的吸收也增大。 因为媒质对波的吸收通常随波的频率增高而增大，所以，通过媒质后留下的主要是低频波。 通常，称 为色散关系（色散效应）。 非线性动力学方程导致媒质中各点的波速不同与质元的位移大小和正负有关，称之为媒质对大振幅波非线性效应。 孤子具有定域性、稳定性、是完整性的孤波。 （所谓完整性指当两个孤波发生碰撞后仍然 能保持原来的形状、速度各自传播)。近年来， 在各种不同的学科领域中，理论和实验中都 出现了孤子的这种运动形态，例如流体中的 涡旋、超导体中的磁通量子、激光在媒质中 的自聚焦以及神经系统中信号的传递等等。 是在媒质中大振幅波的非线性效应以及媒质的色散效应的共同影响下，所形成的一种特殊的波。即在一定的条件下，色散效应与非线性效应所产生的影响相互抵消时，波峰的形状在传播过程中保持不变，便形成了孤波。 孤波 孤子 三、孤波与孤子 §6-9 非线性振动 混沌 一、自激振动 1. 定义：用单向力来激励的振动。 如：树梢在狂风中呼啸，提琴奏出悠扬的小夜曲，自来水管的振动，挂钟发出的嘀嗒嘀嗒的声音. 自激振动把单方向运动的能量转化为周期性振荡的能量，这种转化需要靠非线性机制来实现。 2. 两个典型的例子 (1) 干摩擦引起的自激振动：不加润滑油的两物体相互摩擦时发出的尖叫声，弦乐器奏出的悦耳琴声。 传送带 干摩擦的自激振动实例 张驰振动曲线 传送带以恒定的速度前进，计在另一端固定的弹簧上的物体受传送带摩擦力的作用而向前移动，与此同时，弹簧被拉伸，当弹簧的拉力超过最大静摩擦力时，该物体突然向后滑动，于是弹簧缩短，向后拉物体的力减少，直到传送带又将它带动向前为止，如此周而复始地形成振荡。 (2) 由机械控制的自激振动：钟表、蒸汽机或内燃机的调速器 如：老式钟表由三部分组成： (1) 振动系统——摆 自激振动和受迫振动不同，它是在非洲凄厉的激励下作具有确定振幅和频率的持续振荡，这只有在非保守的、非线性的系统中才能发生。 自激振动可分为硬激励和软激励两种 表面上看起来，与受迫振动情况类似，钟摆受到的冲击力也是周期性的。其实，这个周期是由摆本身决定的，是一种自激振动。 (3) 擒纵机构 (2) 恒定能源——降落的重锤(或发条)和与之相连的棘轮 A *