【最高考系列】（14年3月新版）2015届高考数学总复习（考点引领 技巧点拨）第二章函数与导数第12课时导数在研究函数中的应用教学案（含必威体育精装版模拟、试题改编）.docVIP

函数与导数第12课时　导数在研究函数中的应用(对应学生用书(文)、(理)30～32页) 考情分析 考点新知 ① 导数与函数内容的结合命题已成为近几年高考的流行趋势应引起足够的重视.以导数为研究函数的重要工 理解函数的单调性与导数的关系能利用导数研究函数的单调性.掌握利用导数求函数极值与最值的方法.会利用导数解决某些实际问题., 1. (选修22例1改编)函数f(x)＝x－15x－33x＋6的单调减区间为______________．答案：(－1) 解析：f′(x)＝3x－30x－33＝3(x－11)(x＋1)由(x－11)(x＋1)0得单调减区间为(－1)．亦可填写闭区间或半开半闭区间．(选修22习题3改编)若函数f(x)＝－ax在x＝1处取到极值则a＝________．答案：解析：由题意(1)＝0因为f′(x)＝－a所以a＝(选修22习题8)函数y＝x＋[0，2π]的值域为________．答案：[0] 解析：由y′＝1＋所以函数y＝x＋在[0]上是单调增函数所以值域为[0]．(原创)已知函数f(x)＝－＋b在区间[＋∞)上是减函数则b的取值范围是________．答案：(－∞] 解析：f′(x)＝－x＋在[2＋∞)上恒成立即b≤x在[2＋∞)上恒成立．(选修22例1改编)用长为90、宽为48的长方形铁皮做一个无盖的容器先在四角分别截去一个小正方形然后把四边翻折90角再________cm时容器的容积最大．答案：10解析：设容器的高为x即小正方形的边长为x该容器的容积为V则V＝(90－2x)(48－2x)x＝4(x－69x＋)，0x12，V′＝12(x－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)当0x10时；当10x12时所以V在(0]上是增函数在10，12)上是减函数故当x＝10时最大． 1. 函数的单调性与导数在区间(a)内函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f′(x)0那么函数y＝f(x)为该区间上的增函数；如果f′(x)0那么函数y＝f(x)为该区间上的减函数．函数的极值与导数(1) 函数极值的定义若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都要小(a)叫函数的极小值．若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点＝b附近其他点的函数值都要大(b)叫函数的极大值极小值和极大值统称为极值．(2) 求函数极值的方法解方程f′(x)＝0当f′(x)＝0时如果在x附近左侧单调递增右侧单调递减那么f(x)是极大值．如果在x附近左侧单调递减右侧单调递增那么f(x)是极小值．函数的最值(1) 最大值与最小值的概念如果在函数定义域I内存在x使得对任意的x∈I总有f(x)≤f(x则称f(x)为函数f(x)在定义域上的最大值．如果在函数定义域I内存在x使得对任意的x∈I总有f(x)≥f(x)，则称(x0)为函数(x)在定义域上的最小值．(2) 求函数y＝f(x)在[a]上的最大值与最小值的步骤求函数y＝f(x)在(a)内的极值．将函数y＝f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较其中值最大的一个是最大值值最小的一个是最小值．生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是： 题型1　导数与函数的单调性例1　已知函数f(x)＝x－ax－1.(1) 若a＝3时求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)在实数集R上单调递增求实数a的取值范围；　(3) 是否存在实数a使f(x)在(－1)上单调递减？若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．解：(1) 当a＝3时(x)＝x－3x－1(x)＝3x－3令f′(x)0即3x－30解x1或x－1(x)的单调增区间为(－∞－1)(1，＋∞)同理可求f(x)的单调减区间为(－1)．(2) f′(x)＝3x－a.(x)在实数集R上单调递增(x)≥0恒成立即3x－a≥0恒成立(3x2)min. ∵ 3x2的最小值为0(3) 假设存在实数a使f(x)在(－1)上单调递减(x)≤0在(－1)上恒成立即a≥3x又3x[0，3)，∴ a≥3. ∴ 存在实数a使f(x)在(－1)上单调递减且a≥3. (1) 已知函数 f(x)＝－mlnx＋(m－1)x当 m≤0 时试讨论函数 f(x) 的单调性；(2) 若函数f(x)＝－＋blnx在(1＋∞)上是减函数求实数b的取值范围．解：(1)函数的定义域为(x)＝x－＋(m－1)＝＝当－1m≤0时令f′(x)0得0x－m或x1令f′(x)0得－mx1函数 fx)的单调递增区间是和单调递减区间是；当m≤－1时同理可得函数 f(x)的单调递增区间是和单调递减区间是(2)由f(x)＝－＋blnx得f′(x)＝－(x－)＋由题意知f′(x)≤0即－＋在上 b≤， 当x∈时∈，∴ b≤1. 题型2　导数与函数的极值、最值例2　设函数f(x)＝(x＋ax